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Positivity theorem of the irregularity for \({\mathcal D}_X\)-modules). (Le théorème de positivité de l’irrégularité pour les \({\mathcal D}_X\)-modules.) (French) Zbl 0731.14007
The Grothendieck Festschrift, Collect. Artic. in Honor of the 60th Birthday of A. Grothendieck. Vol. III, Prog. Math. 88, 83-132 (1990).
Soit (X,\(\mathcal O_X)\) une variété algébrique non singulière sur un corps de caractéristique nulle ou une variété analytique complexe lisse, \(\mathcal D_X\) le faisceau des opérateurs différentiels linéaires à coefficients dans \(\mathcal O_X\), \(\mathcal M\) un complexe borné de \(\mathcal D_X\)-modules à cohomologie holonome et \(Z\subset X\) une sous-variété fermée. L’auteur définit le complexe d’irrégularité \(\text{IR}_ Z({\mathcal M})\) de \(\mathcal M\) le long de \(Z\). Il s’agit d’un complexe borné de faisceaux de \(\mathbb{C}\)-espaces vectoriels sur \(Z^{\text{an}}\), à cohomologie constructible, qui apparait comme “l’obstruction” dans la définition de la régularité de \(\mathcal M\) le long de \(Z\) [cf. l’A., Ark. Mat. 20, 111–124 (1982; Zbl 0525.32025)]. Le résultat principal de ce travail affirme que si \(\mathcal M\) est un \(\mathcal D_X\)-module holonome et \(Z\) est une hypersurface, alors \(\text{IR}_ Z(\mathcal M)\) est un faisceau pervers sur \(Z^{\text{an}}\). Son cycle caractéristique est donc positif, et généralise donc le nombre de Fuchs aux points singuliers d’une équation différentielle linéaire ordinaire [cf. B. Malgrange, Enseign. Math., II. Sér. 20, 147–176 (1974; Zbl 0299.34011)].
Une des conséquences les plus remarquables de ce résultat est la possibilité de remplacer la résolution des singularités d’Hironaka par le formalisme des faisceaux pervers [cf. A. A. Beilinson, J. Bernstein et P. Deligne, “Faisceaux pervers”, Astérisque 100 (1982; Zbl 0536.14011)] dans la démonstration du théorème de comparaison de A. Grothendieck [Publ. Math., Inst. Hautes Étúd. Sci. 29, 95–103 (1966; Zbl 0145.17602)] et plus généralement, du théorème des “coefficients de De Rham-Grothendieck”, qui affirme la stabilité des catégorie \(D^b_{hr}(\mathcal D_X)\) des complexes bornés de \(\mathcal D_X\)-modules à cohomologie holonome régulière par les opérations cohomologiques images directes, images inverses, produit tensoriel, dualité, cycles proches et cycles évanescents, et le fait que le foncteur de De Rham transcendant agissant sur \(D^b_{hr}(\mathcal D_X)\) est pleinement fidèle et respecte les opérations cohomologiques analogues pour les catégories des coefficients constructibles \(D_c^b(\mathbb{C}_{X^{\text{an}}})\). Ceci, et d’autres résultats dans le même sens, sont esquissés dans l’article. Les détails se trouvent dans le papier du auteur dans Publ. Math., Inst. Hautes Étúd. Sci. 69, 47-89 (1989; Zbl 0709.14015).
La définition de \(IR_ Z({\mathcal M})\) est de nature transcendante. Cependant, son cycle caractéristique \(CCh(IR_ Z({\mathcal M}))\) peut être défini de façon purement algébrique si X est une variété algébrique non singulière sur un corps de caractéristique nulle, à l’aide des résultats de Lê Dung Trang et l’A., C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 296, 129-132 (1983; Zbl 0566.32020). Ceci nous donne en particulier une formule de type Riemann- Roch exprimant la caractéristique d’Euler-Poincaré de la cohomologie de De Rham d’un fibré à connexion intégrable sur une variété ouverte, en fonction du cycle caractéristique de son complexe d’irrégularité le long du diviseur à l’infini.
La motivation originale du théorème de positivité était le théorème de semi-continuité de l’irrégularité d’une famille d’équations différentielles [l’A., Systèmes différentiels et singularitiés, Colloq. Luminy 1983, Astérisque 130, 365–417 (1985; Zbl 0592.32009)]. Dans ce travail on donne de précisions ci-dessus et on enonce quelques conjectures. - Pour terminer, l’A. exhibe, pour \(Z\subset X\) hypersurface lisse et \(\mathcal M\) \(D_X\)-module holonome, une filtration décroissante \(\{\text{IR}_ Z\{r\}(\mathcal M)\}_{1\leq r\leq \infty}\) de \(\text{IR}_ Z(\mathcal M)\) par des sous-faisceaux pervers, localement finie et dont les sauts locaux sont des nombres rationnels, appelés pentes topologiques de \(\mathcal M\) le long de \(Z\). Ceci est fait à l’aide des résultats de Y. Laurent [“Théorie de la deuxième microlocalisation dans le domaine complexe”, Prog. Math. 53 (1985; Zbl 0561.32013) et Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Sér. 20, 391–441 (1987; Zbl 0646.58021)]. En fait les pentes topologiques sont contenues dans les pentes algébriques de Laurent (loc. cit.).
L’A. et Y. Laurent ont démontré récemment que les pentes algébriques coïncident avec les pentes topologiques, en étudiant une notion de polygône de Newton d’un \({\mathcal D}_X\)-module holonome le long d’une hypersurface lisse.
Cet article, joint à l’article du même auteur aux Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 69 (loc. cit.), est une contribution fondamentale à la théorie des \({\mathcal D}_X\)-modules. Il offre d’une part une présentation conceptuellement simplifiée de la théorie des \({\mathcal D}_X\)-modules réguliers, et d’autre part des méthodes nouvelles pour l’étude des \({\mathcal D}_X\)-modules irréguliers.
For the entire collection see [Zbl 0717.00010].

MSC:
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
14F40 de Rham cohomology and algebraic geometry