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Topologie. (Topology). (German) Zbl 0731.55001
De Gruyter Lehrbuch. Berlin etc.: Walter de Gruyter. ix, 401 S. DM 98.00/hbk; DM 58.00/pbk (1991).
Dies ist keine Einführung in die Topologie, sondern eher das, was die Amerikaner gern als “second course” bezeichnen. Alle Begriffe und Ergebnisse, die die mengentheoretische (d.h. triviale) Topologie als Grundlage für die algebraische (d.h. nicht-triviale) Topologie liefert, werden in der Tat auf 30 Seiten im Anhang dieses Buches bereitgestellt. Dort wo andere Topologiebücher aufhören, fängt dieses also erst an.
Wie der Autor im Vorwort schreibt, sind die grundlegenden Objekte der Geometrie das der Mannigfaltigkeit, des Zellkomplexes und des Bündels, während ihre grundlegenden Methoden in der Anwendung von Bordismen, Homologietheorien und Homotopiegruppen liegen. Dementsprechend heißen die Kapitel des Buches auch so. Eine summarische Aufzählung mag einen Einblick in den Inhalt geben: 1. Mannigfaltigkeiten (Untermannigfaltigkeiten, Liesche Gruppen, differenzierbare Abbildungen, projektive Räume, Mannigfaltigkeiten mit Rand, der Brouwersche Fixpunktsatz, Transversalität und Orientierung; 2. Homotopie (Zusammenhang, Invarianz der Dimension und des Gebietes, die Fundamentalgruppe, Überlagerungen, Abbildungsgrad, Homotopiegruppen, Faserungen, Ausschneidungs- und Einhängungssatz, exakte Homotopiesequenzen); 3. Zellkomplexe (Simpliziale Komplexe und Polyeder, CW-Komplexe, Flächen, geometrische Realisierungen); 4. Bündel (Prinzipal- und Vektorraumbündel, universelle Bündel, Tangentialbündel, orientierbare Vektorraumbündel, Normalenbündel); 5. Bordismus und Homologie (Bordismus, Homologietheorien, Euler- Charakteristik, Schnittzahlen, Eulerzahl, Satz von Hurewicz, Thom-Klassen und Euler-Klassen).
Dies ist ein sehr gut geschriebenes Buch, dessen nichttrivialer Inhalt gut verdaulich präsentiert wird. Von Interesse sind neben der Mathematik auch die eingestreuten historischen und “heuristischen” Bemerkungen. In der Tat ist ein mathematisches Ergebnis ja besonders dann faszinierend, wenn es das “Zusammenspiel” mehrerer Disziplinen illustriert, wobei als bekanntestes Beispiel der Analysis die Indexsätze (im weitesten Sinne) dienen können.
Das Buch ist weitgehend frei von Druckfehlern, etwas störend wirken beim Lesen die brutalen Silbentrennungen, die das TEX-System im Deutschen bekanntlich “wie die Axt im Walde” vornimmt. Nicht nur für Spezialisten und Liebhaber der Analysis und Geometrie, sondern auch für Studenten, die schon eines der auf dem Markt befindlichen Einführungswerke [z. B. die ausgezeichneten Bücher von L. Führer [Allgemeine Topologie mit Anwendungen (1977; Zbl 0342.54001)] oder K. Jänich [Topologie (1980; Zbl 0448.54002)] gelesen haben, ist dieses Werk als Fortführung unbedingt eine Bereicherung.

MSC:
55-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to algebraic topology
57-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to manifolds and cell complexes
55N22 Bordism and cobordism theories and formal group laws in algebraic topology
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