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Einführung in die reelle Algebra. (Introduction to real algebra). (German) Zbl 0732.12001
Vieweg Studium, 63: Aufbaukurs Mathematik. Braunschweig etc.: Friedr. Vieweg & Sohn. x, 184 p. DM 36.00 (1989).
Vorliegendes Lehrbuch ist eine Einführung in die reelle Algebra, das nur Standard-Kenntnisse aus der linearen Algebra, der Gruppen-, Körper- und Ringtheorie voraussetzt.
Kapitel I enthält die Artin-Schreiersche Theorie der angeordneten Körper, einen Steilkurs über quadratische Formen und elementare Zusammenhänge zwischen quadratischen Formen und Anordnungen. Darüberhinaus wird ein Teil der “klassischen” reellen Algebra des neunzehnten Jahrhunderts dargestellt, unter anderem der Sturmsche Algorithmus, Hermites Methode mittels quadratischer Formen, der Satz von Hurwitz und die Beziehung zwischen dem Cauchy-Index und der Hankelform sowie der Bézoutiante einer rationalen Funktion.
In Kapitel II wird die reelle Bewertungstheorie von den Anfängen her entwickelt, beginnend mit konvexen Teilringen, über Bewertungsringe und die Grundlagen der Krullschen Bewertungstheorie hin zur Verträglichkeit von Bewertungen mit Anordnungen und dem Satz von Baer-Krull. Die Zusammenhänge zwischen reellen Stellen und Bewertungsringen werden erläutert. Es gipfelt in der Darstellung von Artins Lösung des 17. Hilbertschen Problems.
Kapitel III enthält viele neuere Ergebnisse der reellen Algebra. Nach einem Exkurs über das Zariski-Spektrum wird das reelle Spektrum im Sinne von Coste und Roy eingeführt. Neben der Harrison-Topologie wird auch die “konstruierbare” Topologie betrachtet. Für affine Varietäten über einem reell abgeschlossenen Körper werden eine geometrische Interpretation des reellen Spektrums und seiner konstruierbaren Teilräume vorgestellt. Die letzten Paragraphen dieses Kapitels stellen Teile der reellen Algebra dar, in denen sich das reelle Spektrum als nützlich erweist, zum Beispiel bei reduzierten Wittringen, Positivstellensätzen, konvexen Idealen, Beschränktheit und dem reellen Holomorphiering.

MSC:
12-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
12D15 Fields related with sums of squares (formally real fields, Pythagorean fields, etc.)
12J15 Ordered fields
12J25 Non-Archimedean valued fields
14P25 Topology of real algebraic varieties
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