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Existence and uniqueness in photometric stereo. (English) Zbl 0732.53005

Wird eine Fläche \(u=u(x,y)\), die physikalisch dem Lambertschen Beleuchtungsgesetz genügt, parallel in Richtung p beleuchtet, so erscheint ihr Grundriß (x,y) in einer gewissen Schattierung E(x,y), die unter Verwendung der Flächennormale \(n=(u_ x,u_ y,-1)\) durch \(E(x,y)=\cos (n,p)\) bestimmt ist. Das Problem besteht in der Umkehraufgabe, zu gegebener Bildfunktion E(x,y) mit bekannter Richtung p die Fläche u(x,y) zu rekonstruieren, also die in \(u_ x\), \(u_ y\) quadratische partielle Differentialgleichung 1. Ordnung zu lösen.
In der vorliegenden Arbeit interessieren Fragen der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen u(x,y) im Fall der Stereophotometrie, wo simultan zwei Lichtrichtungen p,q mit zugehörigen Intensitäten \(E_ i(x,y)\), \(i=1,2\), vorgegeben sind. Die beiden Bedingungen lassen sich explizit nach \(u_ x\) und \(u_ y\) auflösen und damit die Integrabilitätsbedingung \(u_{xy}=u_{yx}\) anschreiben. Die fünfseitige Rechnung (S. 13-17) würde deutlich kürzer und geometrisch einsichtiger durch die Idee, daß n durch die Schnitterzeugenden der beiden Drehkegel mit Achsenrichtung p bzw. q, Öffnungs-cos \(E_ 1\) bzw. \(E_ 2\) und gemeinsamer Spitze 0 bestimmt ist. Diese Schnitterzeugenden lassen sich nach Methoden der Konstruktiven Geometrie unter Verwendung der Hilfskugel \(<n,n>=1\) und des Ansatzes \(n=\alpha p+\beta q+t(p\times q)\) analytisch in wenigen Zeilen hinschreiben. Dabei wird auch klar, weshalb die beiden quadratischen Bedingungen mit Rücksicht auf die durch \(0\leq E_ i\leq 1\) gegebene Orientierung lokal höchstens zwei Lösungen gestatten und wie man Beispiele für Vorgaben ohne Lösung findet (Anm. d. Ref.). Es schließen sich zahlreiche Folgerungen und viele ausführliche und sehr konkrete Beispiele an. Auch drei simultane Beleuchtungen werden kurz betrachtet.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
35F20 Nonlinear first-order PDEs
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