×

Existence and uniqueness in photometric stereo. (English) Zbl 0732.53005

Wird eine Fläche \(u=u(x,y)\), die physikalisch dem Lambertschen Beleuchtungsgesetz genügt, parallel in Richtung p beleuchtet, so erscheint ihr Grundriß (x,y) in einer gewissen Schattierung E(x,y), die unter Verwendung der Flächennormale \(n=(u_ x,u_ y,-1)\) durch \(E(x,y)=\cos (n,p)\) bestimmt ist. Das Problem besteht in der Umkehraufgabe, zu gegebener Bildfunktion E(x,y) mit bekannter Richtung p die Fläche u(x,y) zu rekonstruieren, also die in \(u_ x\), \(u_ y\) quadratische partielle Differentialgleichung 1. Ordnung zu lösen.
In der vorliegenden Arbeit interessieren Fragen der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen u(x,y) im Fall der Stereophotometrie, wo simultan zwei Lichtrichtungen p,q mit zugehörigen Intensitäten \(E_ i(x,y)\), \(i=1,2\), vorgegeben sind. Die beiden Bedingungen lassen sich explizit nach \(u_ x\) und \(u_ y\) auflösen und damit die Integrabilitätsbedingung \(u_{xy}=u_{yx}\) anschreiben. Die fünfseitige Rechnung (S. 13-17) würde deutlich kürzer und geometrisch einsichtiger durch die Idee, daß n durch die Schnitterzeugenden der beiden Drehkegel mit Achsenrichtung p bzw. q, Öffnungs-cos \(E_ 1\) bzw. \(E_ 2\) und gemeinsamer Spitze 0 bestimmt ist. Diese Schnitterzeugenden lassen sich nach Methoden der Konstruktiven Geometrie unter Verwendung der Hilfskugel \(<n,n>=1\) und des Ansatzes \(n=\alpha p+\beta q+t(p\times q)\) analytisch in wenigen Zeilen hinschreiben. Dabei wird auch klar, weshalb die beiden quadratischen Bedingungen mit Rücksicht auf die durch \(0\leq E_ i\leq 1\) gegebene Orientierung lokal höchstens zwei Lösungen gestatten und wie man Beispiele für Vorgaben ohne Lösung findet (Anm. d. Ref.). Es schließen sich zahlreiche Folgerungen und viele ausführliche und sehr konkrete Beispiele an. Auch drei simultane Beleuchtungen werden kurz betrachtet.

MSC:

53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
35F20 Nonlinear first-order PDEs
Full Text: DOI

References:

[1] Blake, A.; Zisserman, A.; Knowles, G., Surface descriptions from stereo and shading, Image and Vision Comput., 3, 4, 183-191 (1985)
[2] M.J. Brooks, W. Chojnacki, and R. Kozera, Shading without shape, Quart. Appl. Math., in press.; M.J. Brooks, W. Chojnacki, and R. Kozera, Shading without shape, Quart. Appl. Math., in press. · Zbl 0763.35103
[3] M.J. Brooks, W. Chojnacki, and R. Kozera, Circularly-symmetric eikonal equations and non-uniqueness in computer vision, J. Math. Anal. Appl., in press.; M.J. Brooks, W. Chojnacki, and R. Kozera, Circularly-symmetric eikonal equations and non-uniqueness in computer vision, J. Math. Anal. Appl., in press. · Zbl 0799.35036
[4] Bruss, A. R., The eikonal equation: Some results applicable to computer vision, J. Math. Phys., 23, 5, 890-896 (1982) · Zbl 0502.35079
[5] Deift, P.; Sylvester, J., Some remarks on the shape-from-shading problem in computer vision, J. Math. Anal. Appl., 84, 1, 235-248 (1981) · Zbl 0485.35081
[6] Carmo, M. P.Do, Differential Geometry of Curves and Surfaces (1976), Prentice-Hall: Prentice-Hall Englewood Cliffs, N.J · Zbl 0326.53001
[7] Horn, B. K.P., Robot Vision (1986), McGraw-Hill: McGraw-Hill New York
[8] Horn, B. K.P.; Brooks, M. J., Shape from Shading (1989), MIT Press: MIT Press Cambridge, Mass
[9] Horn, B. K.P.; Ikeuchi, K., The mechanical manipulation of randomly oriented parts, Sci. Amer., 251, 2, 100-111 (1984)
[10] Horn, B. K.P.; Woodham, R. J.; Silver, W. M., Determining Shape and Reflectance Using Multiple Images, Memo 490 (1978), Artificial Intelligence Lab., MIT: Artificial Intelligence Lab., MIT Cambridge, Mass
[11] Oliensis, J., Existence and Uniqueness in Shape from Shading, Technical Report TR 89-109 (1989), Dept. of Computer and Information Science, Univ. of Massachusetts: Dept. of Computer and Information Science, Univ. of Massachusetts Amherst
[12] Onn, R.; Bruckstein, A., Integrability disambiguates surface recovery in two-image photometric stereo, Intern. J. Comput. Vision, 5, 1, 105-113 (1990)
[13] Saxberg, B. V.H., A Modern Differential Geometric Approach to Shape from Shading, Ph.D. Dissertation (1989), Dept. of Electrical Engineering and Computer Science, MIT
[14] Woodham, R. J., Photometric stereo: A reflectance map technique for determining surface orientation from a single view, Appl. Proc. Soc. Photo-Optical Instrum. Engrs., 155, 136-143 (1978)
[15] Woodham, R. J., Analyzing curved surfaces using reflectance map techniques, (Winston, P. H.; Brown, R. H., Artificial Intelligence: An MIT Perspective, Vol. II (1979), MIT Press: MIT Press Cambridge, Mass), 161-184 · Zbl 0495.68079
[16] Woodham, R. J., Photometric method for determining surface orientation from multiple images, Optical Engrg., 19, 1, 139-144 (1980)
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.