Fonctions entières prenant des valeurs entières ainsi que ses dérivées sur des suites recurrentes binaires. (French) Zbl 0733.30022

Bézivin, Jean-Paul

Manuscr. Math. 70, No. 3, 325-338 (1991).

Mit Hilfe der Entwicklung einer ganzen Funktion in Interpolationsreihen mit den Interpolationsknoten \(u(n)=q^ n+q^{-n}\) oder \(u(n)=\frac{q^ n-q^{-n}}{q-q^{-1}}\) \((q\in {\mathbb{C}},| q| >1\), q Nullstelle eines Polynoms der Form \(x^ 2+ax+1=0\), \(a\in {\mathbb{Z}}\), \(| a| >2)\) wird der folgende Satz bewiesen:
Es sei f eine ganze Funktion, \(s\in {\mathbb{N}}\). f erfülle die Bedingungen:
a) \(f^{(j)}(u(n))\in {\mathbb{Z}}\) für \(j=0,1,...,s-1;\)
b) \(| f(r)| \ll \exp (c\frac{\log r)^ 2}{\log | q|})\) mit \[ c<\frac{s}{4(1+(6(s-1))/(\pi^ 2s))},\quad u(n)=q^ n+q^{-n} \] im Falle \[ c<\frac{s}{4(1+24(2s-1)/\pi^ 2s)},\quad u(n)=\frac{q^ n-q^{-n}}{q-q^{-1}}. \] Dann ist f ein Polynom.
Der Satz verallgemeinert Ergebnisse von A. O. Gelfond und des Autors.

Reviewer: R.Wallisser (Freiburg i.Br.)

MSC:

30D15	Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
11J99	Diophantine approximation, transcendental number theory

References:

[1]	BEZIVIN, J.P.- Sur les points où une fonction analytique prend des valeurs entières. Ann. Inst. Fourier (à paraître)
[2]	BUNDSCHUH, P.- Arithmetische Eigenschaften ganzer Funktionen Mehrerer Variablen. J. für die reine angew Math.313, 116–132, (1980) · doi:10.1515/crll.1980.313.116
[3]	GRAMAIN, F, SCHNITZER F.J. Ganze ganzwertige Funktionen: Historiche Bemerkungen. Complex Methods on partial differential equations. 151–177. Math Res53, Akademic Verlag, Berlin 1989
[4]	GEL’FOND A.O.- Sur les fonctions entières qqui prennent des valeurs entières aux points {\(\beta\)}n (En russe). Mat Sb40, 42–47, (1933)
[5]	GEL’FOND A.O.- Functions which takes on integral values. Math. Notes1, 337–340, (1967).
[6]	WALLISSER, R.- On entire functions assuming integer values in a geometric sequence. Théorie des Nombres, C.R. Conférence International. Université Laval 1987. (J.M. de Konnink et C. Levesque Ed) de Gruyter, 981–989, (1989)