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Proper holomorphic mappings of complex spaces. (English) Zbl 0733.32021

Several complex variables VI. Complex manifolds, Encycl. Math. Sci. 69, 1-38 (1990); Russian translation in Itogi Nauki Tekh., Ser. Sovrem. Probl. Mat., Fundam. Napravleniya 69, 6-47 (1991).
[For the entire collection see Zbl 0711.00012.]
Vorliegender Artikel ist Teil einer Gesamtdarstellung der Komplexen Analysis innerhalb der “Enzyklopaedia of Mathematical Sciences”. In ihm werden die wesentlichen Resultate über eigentliche holomorphe Abbildungen dargestellt.
Hauptgegenstand des ersten Abschnittes ist der Remmert’sche Satz über eigentliche holomorphe Abbildungen. Sein Beweis wird über den Fortsetzungssatz für analytische Mengen von Remmert-Stein geführt.
Der nächste Paragrah ist dem Grauert’schen Bildgarbensatz gewidmet. Es wird die Methode eingedeutet, die von Forster-Knorr zu einem Beweis dieses Satzes benutzt wurde. Als Anwendungen werden zum Beispiel Quotienten komplexer Räume und die Stein-Faktorisierung diskutiert.
Der dritte Abschnitt behandelt eigentliche Einbettungen komplexer Räume. Neben den klassischen Ergebnissen von Bishop, Narasimhan, Remmert werden auch die schärferen Einbettungssätze von Forster besprochen. Zudem wird gezeigt, daß sich der Einheitskreis eigentlich in den \({\mathbb{C}}^ 2\) einbetten läßt.
Im letzten Teil dieser Übersicht werden Ergebnisse über eigentliche holomorphe Abbildungen in beschränkte Gebiete des \({\mathbb{C}}^ n\) zusammengestellt. Zuerst werden die klassischen Resultate von Remmert- Stein über die Nichtexistenz eigentlicher holomorpher Abbildungen zwischen zwei Gebieten, von denen eines ein Produkt ist, besprochen. Es schließt sich der Feferman’sche Satz über die \(C^{\infty}\)- Fortsetzbarkeit von biholomorphen Abbildungen zwischen streng pseudokonvexen Gebieten an. Der Beweis von Bell-Ligocka wird skizziert. Seine Ideen ermöglichen es, auch eigentliche holomorphe Abbildungen zwischen gewissen nur schwach pseudokonvexen Gebieten \(C^{\infty}\) bis zum Rand fortzusetzen. Der Artikel schließt mit Ergebnissen über eigentliche holomorphe Abbildungen in Kugeln bzw. in Polyzylindern.
Reviewer: P.Pflug (Vechta)

MSC:

32H35 Proper holomorphic mappings, finiteness theorems
32-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to several complex variables and analytic spaces
32A07 Special domains in \({\mathbb C}^n\) (Reinhardt, Hartogs, circular, tube) (MSC2010)

Citations:

Zbl 0711.00012