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Metrics on the moduli spaces of instantons over Euclidean 4-space. (English) Zbl 0734.53025
Zu Beginn der Arbeit wird ein Überblick über die ADHM-Konstruktion der Instantonen gegeben: Seien P ein SU(r)-Hauptfaserbündel über \({\mathbb{R}}^ 4\) und \({\mathfrak A}\) der Raum der Zusammenhänge A auf P mit \(L^ 2\)-integrierbarer Krümmung \(F_ A\), die im Limes \(r\to \infty\) gegen eine reine Eichung \((F_ A=0)\) strebt. Ein Paar (P,A) definiert ein \({\mathbb{C}}^ r\)-Bündel (E,A) über \({\mathbb{R}}^ 4\), indem man die definierende Darstellung von SU(r) betrachtet. Mit Hilfe der Killingform \(\Gamma\)-Spur(XY) auf der Lie-Algebra \({\mathfrak su}(r)\) und der euklidischen Metrik auf \({\mathbb{R}}^ 4\) definiert man das konform- invariante Wirkungsintegral \(-\int Spur F_ A\wedge *F_ A\). Die Homotopie-Klasse \(\pi_ 3(SU(r))\) der reinen Eichung des Zusammenhangs für \(r\to \infty\) läßt sich als Ladung deuten. Der Raum der Zusammenhänge A mit Ladung \(k\in {\mathbb{Z}}\) wird mit \({\mathfrak A}_ k\) bezeichnet.
Die Eichgruppe wirkt frei auf \({\mathfrak A}_ k\); der zugehörige Quotient \({\mathfrak B}_ k\) ist eine Banach-Mannigfaltigkeit. Für die Konstruktion der Instantonen interessiert der Unterraum \({\mathfrak M}_{k,r}\) von \({\mathfrak B}_ k\), der die Zusammenhänge mit \(F^+_ A=0\) beschreibt, wo \(F^+_ A\) der selbstduale Teil von \(F_ A\) ist. \({\mathfrak M}_{k,r}\) heißt Moduli-Raum. Die elliptische Differentialgleichung \(F^+_ A=0\) ist i.a. schwierig zu lösen. Daher zeigt man bei der ADHM-Konstruktion, daß zwischen dem Raum \({\mathfrak M}_{k,r}\) und einer gewissen Klasse von Matrizen eine bijektive Abbildung besteht, die die Gleichung \(F^+_ A=0\) auf ein Problem der linearen Algebra reduziert.
In der besprochenen Arbeit wird gezeigt, daß die natürlichen Hyper- Kähler-Metriken auf \({\mathfrak M}_{k,r}\) und auf dem Raum der ADHM- Matrizen übereinstimmen. Daher lassen sich Beziehungen zwischen der Krümmung eines Zusammenhangs und den dazugehörigen invarianten Polynomen in den ADHM-Matrizen ableiten.

MSC:
53C07 Special connections and metrics on vector bundles (Hermite-Einstein, Yang-Mills)
58D27 Moduli problems for differential geometric structures
53C80 Applications of global differential geometry to the sciences
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References:
[1] Atiyah, M. F.: Geometry of Yang-Mills fields. Lez. Ferm. Acc. Naz. dei Lin. Sc. Norm. Sup., Pisa (1979) · Zbl 0435.58001
[2] –, Hitchin, N. J.: Geometry and dynamics of magnetic monopoles. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1988 · Zbl 0671.53001
[3] Boyer, C. P., Mann, B. M.: A classifying space for instantons. Preprint (1989) · Zbl 0685.58037
[4] Braam, P. J., van Baal, P.: Nahm’s transformation for instantons. Commun. Math. Phys.122, 267–280 (1989) · Zbl 0672.55009 · doi:10.1007/BF01257416
[5] Donaldson, S. K.: Instantons and geometric invariant theory. Commun. Math. Phys.93, 453–460 (1984) · Zbl 0581.14008 · doi:10.1007/BF01212289
[6] –: Connections, cohomology and the intersection forms of 4-manifolds. J. Diff. Geom.24, 275–341 (1986) · Zbl 0635.57007
[7] –: Infinite determinants, stable, bundles and curvature. Duke Math. J.54, 231–247 (1987) · Zbl 0627.53052 · doi:10.1215/S0012-7094-87-05414-7
[8] Freed, D., Uhlenbeck, K.: Instantons and four manifolds. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1984 · Zbl 0559.57001
[9] Groisser, D., Parker, T. H.: The Riemannian geometry of the Yang-Mills moduli space. Commun. Math. Phys.112, 663–689 (1987) · Zbl 0637.53037 · doi:10.1007/BF01225380
[10] —-: The geometry of the Yang-Mills moduli space for definite manifolds. J. Diff. Geom.29, 499–544 (1989) · Zbl 0679.53024
[11] Hitchin, N. J., Karlhede A., Lindström, U., Roček, M.: Hyper-Kähler metrics and supersymmetry. Commun. Math. Phys.108, 535–589 (1987) · Zbl 0612.53043 · doi:10.1007/BF01214418
[12] Osborn, H.: Calculation of multi-instanton determinants. Nucl. Phys.B159 497–511 (1979) · doi:10.1016/0550-3213(79)90347-X
[13] Swann, A.: private communication
[14] Taubes, C. H.: Stability in Yang-Mills theories. Commun. Math. Phys.91, 235–263 (1983) · Zbl 0524.58020 · doi:10.1007/BF01211160
[15] Uhlenbeck, K.: Removable singularities in Yang-Mills fields. Commun. Math. Phys.83, 11–29 (1982) · Zbl 0491.58032 · doi:10.1007/BF01947068
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