Algebraic independence of the values of certain functions at a transcendental number. (English) Zbl 0735.11031

Amou, Masaaki

Acta Arith. 59, No. 1, 71-82 (1991).

[This paper is reviewed together with the preceding one (see above).]
Soit \(F=(f_ 1,\ldots,f_ m)\) un vecteur de séries formelles en une variable, à coefficients algébriques, convergeant dans un voisinage \(U\) de l’origine et satisfaisant l’équation fonctionnelle \((d\in\mathbb{N},\) \(d\geq 2)\) \(F(z)=A(z)F(z^ d)+B(z)\) où \(A\) est une matrice \(m\times m\) et \(B\) un \(m\)-vecteur dont les coefficients sont des polynômes (en une variable) à coefficients algébriques. Ce type de fonctions est le domaine d’élection de la méthode de Mahler. Si \(\alpha\in U\) est un nombre algébrique \(0<|\alpha|<1\) et qu’aucun des nombres \(\alpha,\alpha^ d,\alpha^{d^ 2},\ldots\) n’est zéro de \(\text{det} A(z)\), K. Nishioka a montré que les nombres \(f_ 1(\alpha),\ldots,f_ m(\alpha)\) sont algébriquement indépendants et Yu. V. Nesterenko a donné une mesure d’indépendance algébrique (partiellement ineffective) de ces nombres.
Dans le premier texte P.-G. Becker améliore cette mesure, il montre qu’il existe \(C=C(\alpha,f_ 1,\dots,f_ m)>0\) tel que si \(P\in\mathbb{Z}[x_ 1,\dots,x_ m]\), \(P\neq0\) est de degré \(\leq D\) \((D\geq1)\) et de coefficients majorés en valeur absolue par \(H\geq1\) alors: \[ \log| P(f_ 1(\alpha),\ldots,f_ m(\alpha))| > -CD^ m(\log H+D^{m+2}\log (D+1)). \] Ce résultat donne des exemples (apparemment les premiers) de corps de degré de transcendance arbitrairement grand et de type de transcendance fini (proche de l’optimum). Dans le second texte, M. Amou étudie le degré de transcendance du corps engendré sur \(\mathbb{Q}\) par les nombres \(\alpha,f_ 1(\alpha),\ldots,f_ m(\alpha)\) lorsque \(\alpha\) est supposé transcendant, il montre \[ \text{deg tr}_ \mathbb{Q} \mathbb{Q}(\alpha,f_ 1(\alpha),\ldots,f_ m(\alpha))\geq[(m+1)/2]. \] Et dans les cas \(m=1\) et 2, lorsque \(f_ 1(\alpha)\in \bar \mathbb{Q}(\alpha)\), il donne des mesures de transcendance et d’indépendance algébrique de \(\alpha\) et \((\alpha,f_ 2(\alpha))\) respectivement. Ces mesures entraspinent que les corps \(\mathbb{Q}(\alpha)\) et \(\mathbb{Q}(\alpha,f_ 2(\alpha))\) sont de type de transcendance \(\leq 3+\epsilon\) et \(\leq 9+\epsilon\) respectivement pour tout \(\epsilon>0\).
Les démonstrations des deux textes reposent sur le lemma de zéro de K. Nishioka pour les fonctions de la forme \(Q(z,f_ 1(z),\dots,f_ m(z))\) (\(Q\) polynôme). Le texte de M. Amou utilise aussi différentes techniques d’élimination.

Reviewer: P.Philippon (Paris)

MSC:

11J82	Measures of irrationality and of transcendence
11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method

Keywords:

Mahler’s method; transcendence degree; transcendence measures; measures of algebraic independence; fields of finite transcendence type; zero estimates; elimination method