×

zbMATH — the first resource for mathematics

Uniqueness theorem adapted to the control of solutions of hyperbolic equations. (Théorème d’unicité adapté au contrôle des solutions des problèmes hyperboliques.) (French) Zbl 0735.35086
Il s’agit d’un problème déjà étudié d’autres auteurs (C. Bardos, G. Lebeau, J. Rauch). Ici il est question d’opérateurs à coefficients peu réguliers; et on fait appel à la méthode H.U.M. (Hilbert Uniqueness Method). Soit \(\Omega\) un ouvert connexe de \(\mathbb{R}^ n\). Soit \(A(x,D_ x)\) un opérateur elliptique \[ A(x,D_ x)=\sum_{n\geq i,j\geq 1}a_{ij}(x)D_{x_ i}D_{x_ j}+\sum_{i=1}^ n a_ i(x)D_{x_ i}+a_ 0(x), \] où nous rappellons seulement que pour \((a_{ij}(x))\), matrice réelle définie positive, il existe deux constantes \(C_ 1,C_ 2>0\), telles que pour tout \(x\in\Omega\) et pour tout \(\xi\in \mathbb{R}^ n\) soit \(C_ 2|\xi|^ 2\geq\sum_{{n\geq i} \atop {j\geq 1}}a_{ij}(x)\xi_ i\xi_ j\geq C_ 1|\xi|^ 2.\)
Supposé:
que \(u(t,x)\) verifie la condition \([D_ t^ 2-A(x,D_ x)]u(x,t)=0\) pour \((t,x)\in]-T,T[\times\Omega\);
que \(u(t,x)=0\) pour \((t,x)\in]-T,T[\times B(x_ 0,r_ 0)\), où \(x_ 0\in\Omega\), \(r_ 0>0\) et \(B(x_ 0,r_ 0)\subset\Omega;\)
que \(D=\text{Sup}\{d(x_ 0,x), \hbox{ pour } x\in\Omega\}\neq+\infty\), où \(d(\;,\;)\) est la distance géodésique dans \(\Omega\);
l’auteur démontre qu’il existe un réel \(K>0\) (ou \(K\) ne dépend que de \(C_ 1\) et \(C_ 2\)), tel que, si \(T>KD\), alors \(u(t,x)=0\) pour \((t,x)\in]-T_ 1,T_ 1[\times\Omega\), où \(T_ 1=T-KD\).
Reviewer: S.Cinquini (Pavia)

MSC:
35L20 Initial-boundary value problems for second-order hyperbolic equations
35B60 Continuation and prolongation of solutions to PDEs
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] Alinhac S., Annals of Mathematics 117 pp 77– (1983) · Zbl 0516.35018 · doi:10.2307/2006972
[2] Bardos C., Annexe livre de J.L. Lions 7 (1983)
[3] Hörnander L., Linear partial differential operators (1963) · Zbl 0108.09301 · doi:10.1007/978-3-642-46175-0
[4] Hörnander L., The analysis of linear partial difirential operalors.
[5] Lavrentèv M. M., Amer. Math. Soc, Providence, RI 64
[6] Lerner N., Journal of Differential Equations 71 pp 255– (1988) · Zbl 0699.35162 · doi:10.1016/0022-0396(88)90026-5
[7] Lions J. L., Contrôlabilité exacte, Masson
[8] Rauch J., Indiana Univ. Math. J. 22 pp 277– (1972) · doi:10.1512/iumj.1973.22.22022
[9] Symes W., Math. Meth. in the Appl. Sci. 5 pp 131– (1983) · Zbl 0528.35085 · doi:10.1002/mma.1670050110
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.