Grillakis, Manoussos G. Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity. (English) Zbl 0736.35067 Ann. Math. (2) 132, No. 3, 485-509 (1990). Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Cauchyschen Anfangswertproblem für die nichtlineare Wellengleichung in drei Raumdimensionen \[ u_{tt}-\Delta u+u^ 5=0,\quad t\geq t_ 0,\quad u(t_ 0,x)=u_ 0(x),\quad u_ t(t_ 0,x)=u_ 1(x). (1) \] Dabei ist \(u_ 1\in C^ 2(\mathbb{R}^ 3)\) und \(u_ 0\in C^ 3(\mathbb{R}^ 3)\). Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß (1) für \(t\in[t_ 0,+\infty)\) eine klassische und globale Lösung \(u=u(t,x)\) besitzt. Der Beweis beruht auf einer a priori Abschätzung der Lösung von (1) in der \(L^ \infty\)-Norm, die mit Hilfe geeigneter Multiplikatoren gewonnen wird. Durch dieses Resultat wird eine seit langem offene Frage in positivem Sinne beantwortet. Für den Spezialfall radialsymmetrischer Anfangsdaten ist dieser Satz enthalten in einem Resultat von M. Struwe [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci, IV. Ser. 15, 495-513 (1988; Zbl 0728.35072)]. Reviewer: E.Heinz (Göttingen) Cited in 2 ReviewsCited in 111 Documents MSC: 35L70 Second-order nonlinear hyperbolic equations 35B45 A priori estimates in context of PDEs 35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs 35B65 Smoothness and regularity of solutions to PDEs 35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000) Keywords:nonlinear wave equation; Cauchy problem regularity; large time behaviour; classical solution; existence Citations:Zbl 0728.35072 PDF BibTeX XML Cite \textit{M. G. Grillakis}, Ann. Math. (2) 132, No. 3, 485--509 (1990; Zbl 0736.35067) Full Text: DOI OpenURL