Regularity and asymptotic behaviour of the wave equation with a critical nonlinearity. (English) Zbl 0736.35067

Grillakis, Manoussos G.

Ann. Math. (2) 132, No. 3, 485-509 (1990).

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Cauchyschen Anfangswertproblem für die nichtlineare Wellengleichung in drei Raumdimensionen \[ u_{tt}-\Delta u+u^ 5=0,\quad t\geq t_ 0,\quad u(t_ 0,x)=u_ 0(x),\quad u_ t(t_ 0,x)=u_ 1(x). (1) \] Dabei ist \(u_ 1\in C^ 2(\mathbb{R}^ 3)\) und \(u_ 0\in C^ 3(\mathbb{R}^ 3)\). Als Hauptresultat der Arbeit wird gezeigt, daß (1) für \(t\in[t_ 0,+\infty)\) eine klassische und globale Lösung \(u=u(t,x)\) besitzt. Der Beweis beruht auf einer a priori Abschätzung der Lösung von (1) in der \(L^ \infty\)-Norm, die mit Hilfe geeigneter Multiplikatoren gewonnen wird. Durch dieses Resultat wird eine seit langem offene Frage in positivem Sinne beantwortet. Für den Spezialfall radialsymmetrischer Anfangsdaten ist dieser Satz enthalten in einem Resultat von M. Struwe [Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci, IV. Ser. 15, 495-513 (1988; Zbl 0728.35072)].

Reviewer: E.Heinz (Göttingen)

MSC:

35L70	Second-order nonlinear hyperbolic equations
35B45	A priori estimates in context of PDEs
35B40	Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35B65	Smoothness and regularity of solutions to PDEs
35A05	General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)

Keywords:

nonlinear wave equation; Cauchy problem regularity; large time behaviour; classical solution; existence

Citations:

Zbl 0728.35072