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Plane waves in nonlinear electromagnetism. (Les ondes planes en electromagnétisme non linéaire.) (French) Zbl 0736.35133

Si on note avec \(B\), \(E\), \(D\), \(H\) le champ magnétique, respectivement le champ électrique, l’induction électrique et l’induction magnétique, l’auteur propose un modèle nonlinéaire des équations de Maxwell en considérant l’équation \((*) W_ t+\text{div}(W/D\land W/B)=0\) où \(W=(B.H+D.E)/2\), d’où l’on déduit le système [considéré par B. D. Coleman et E. H. Dill, Z. Angew. Math. Phys. 22, 691-702 (1971; Zbl 0218.35072)] \((**) B_ t+\text{rot}(\partial W/\partial D)=0\), \(D_ t-\text{rot}(\partial W/\partial B)=0\). Mais contrairement à ce qui se fait d’habitude, lorsqu’on se place en régime permanent, l’auteur aborde le système d’évolution (dans le cadre unidimensionel). Lorsque \(W\) est strictement convexe, le système (**) est hyperbolique dans la direction du temps. Si l’on met les équations sous la forme d’un système de lois de conservation (les véritables inconnues étant \(B\) et \(D\)), le système est symétrisable au sens de Friedrichs.
L’auteur démontre un résultat d’existence de solutions faibles, dans le cas du système correspondant aux ondes planes, sous des conditions techniques assez naturelles. On obtient l’existence de solutions globales du problème de Cauchy, à données initiales mesurables et bornées. La méthode est semblable à celle de R. J. Di Perna [Arch. Ration. Mech. Anal. 82, 27-70 (1983; Zbl 0519.35054)].
La dernière partie de l’article contient une étude sur la propagation d’ondes planes de courtes longueurs d’onde. On montre en particulier que le système de Maxwell considéré est mal posé dans \(L^ \infty(\mathbb{R})\) avec la topologie faible-étoile et ceci est justement du à la nonlinéarité. L’idée de cette étude se retrouve déja chez L. Tartar [Cours Peccot, Collége de France (1975)], D. Serre [Rend. Semin. Mat. Torino Fasc. Spec., 185-201 (1988; Zbl 0678.35066)] et M. Bonneville [Thèse, Saint Etienne (1987)].

MSC:

35Q60 PDEs in connection with optics and electromagnetic theory
35L60 First-order nonlinear hyperbolic equations
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References:

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