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Multidimensional Abelian and Tauberian comparison theorems. (English. Russian original) Zbl 0736.46032
Math. USSR, Sb. 68, No. 1, 85-110 (1990); translation from Mat. Sb. 180, No. 9, 1234-1258 (1989).
Wie bekannt wird ein Satz, der aus dem asymptotischen Verhalten eines Quotienten zweier (verallgemeinerter) Funktionen Aufschluß über das Verhalten des Quotienten der entsprechenden Integraltransformationen gibt, als Abelscher Vergleichssatz bezeichnet. Ein zu diesem inverser Satz heißt Tauberscher Vergleichssatz.
In der vorliegenden Arbeit sind einige Abelsche und Taubersche Vergleichssätze bewiesen, und zwar für Distributionen, deren Träger in einem spitzen räumlichen Kegel enthalten sind, wobei für die Integraltransformation die Laplace-Transformation benutzt wird.
Das Ziel des ersten Abschnitts sind Taubersche Sätze. Einer von diesen Sätzen betrifft Funktionen, von welchen eine ein nichtnegatives Maß bestimmter Eigenschaft ist, und die zweite eine dem Argument nach beschränkte Laplace-Transformierte besitzt. Als Vergleichsfunktionen werden sog. “kegelzulässige” Distributionen verwendet. Zu diesen Funktionen zählen im eindimensionalen Fall z.B. die nichtnegativen Maße, die der Tauberschen Bedingung des Keldyschen Typs genügen.
Im zweiten Abschnitt sind zwei mehrdimensionale Abelsche Vergleichssätze bewiesen. Dabei zeigt es sich, daß für die Gültigkeit der Vergleichssätze in Abelscher Richtung gewisse zusätzliche Voraussetzungen gemacht werden müssen (sog. Abelsche Bedingungen).
Im abschließenden dritten Abschnitt wird an einem konkreten Beispiel gezeigt, daß auf die Abelschen Bedingungen nicht verzichtet werden kann.
Reviewer: J.Matušů(Praha)
MSC:
46F10 Operations with distributions and generalized functions
46F12 Integral transforms in distribution spaces
40E05 Tauberian theorems
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