On the length of the geodesics of a metric of negative curvature on the disc. (Sur les longueurs des géodésiques d’une métrique à courbure négative dans le disque.) (French) Zbl 0736.53042

Otal, Jean-Pierre

Comment. Math. Helv. 65, No. 2, 334-347 (1990).

L’auteur démontre le résultat suivant: Soit \(D\) un disque compact dans \({\mathbb{R}}^ 2\) de classe \(C^ 2\) dont le bord est noté \(\partial D\). On munit \(D\) de deux métriques Riemanniennes, notées \(m\) et \(m'\), à courbure strictement négative. On suppose que les restrictions à \(\partial D\) des distances sur \(D\) relatives à \(m\) et à \(m'\) qui sont des fonctions sur \(\partial D\times \partial D\) sont égales. Alors il existe un difféomorphisme \(\phi\) de \(D\), laissant \(\partial D\) invariant point par point, qui transporte \(m\) sur \(m'\); c’est-à-dire que \(m\) et \(m'\) sont isométriques. La démonstration est délicate et nécessite plusieurs étapes: elle utilise la géométrie intégrale en mettant en relief le rôle essentiel de la mesure de Liouville sur la variété des géodésiques.

Reviewer: R.Michel (Avignon)

MSC:

53C20	Global Riemannian geometry, including pinching
53C22	Geodesics in global differential geometry
53C65	Integral geometry

Keywords:

geodesic length; Liouville measure; rigidity theorem; negative curvature