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Théorème de Nekhoroshev à singularités. (The Nekhoroshev singularity theorem). (French) Zbl 0738.53022
Summary: Le théorème de Nekhoroshev nous dit que, s’il existe des fonctions indépendantes \(g_ 1,\ldots,g_ k\), \(f_ 1,\ldots,f_{2(n-k)}\) sur la variété symplectique \((M^{2n},\omega)\) vérifiant \(\{g_ i,g_ j\}=\{g_ i,f_ r\}=0\) pour tous \(i,j\) variant de 1 à \(k\) et \(r\) de 1 à \(2(n-k)\) et si la composante connexe \(C\hbox{ de }\bigcap_ i f^{-1}_ i(f_ i(x_ 0))\cap\bigcap_ i g^{-1}_ j(g_ j(x_ 0))\) contenant \(x_ 0\) est compacte, alors \(C\) est un tore et il existe, sur une voisinage \(U\) de \(C\), des “coordonnées symplectiques” \[ (I_ 1,\ldots,I_ k,q_ 1,\ldots,q_{n-k},\theta_ 1,\ldots,\theta_ k,p_ 1,\ldots,p_{n-k} )\in\mathbb{R}^ k\times\mathbb{R}^{n-k}\times(S^ 1)^ k\times\mathbb{R}^{n-k} \] avec \(g_ i=g_ i(I_ 1,\ldots,I_ k)\), \(f_ j=f_ j(I_ 1, \ldots ,I_ k,q_ 1, \ldots ,q_{n-k},p_ 1, \ldots ,p_{n-k})\) (c’est une généralisation du théorème classique d’existence de coordonnées “Action-Angle” d’Arnol’d). Nous montrons que l’on a encore un résultat de même nature en permettant aux \(g_ i\) d’avoir des singularités de “type elliptique”, comme dans le théorème de variables Action-Angle à singularités de Eliasson.

MSC:
53C15 General geometric structures on manifolds (almost complex, almost product structures, etc.)
57R45 Singularities of differentiable mappings in differential topology
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