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Variety of laws on nilpotent Lie algebras. (Variété des lois d’algèbres de Lie nilpotentes.) (French) Zbl 0742.17016
Soit \(V\) un espace vectoriel sur \(\mathbb{C}\) de dimension \(n\); l’auteur considère la variété formée par les lois d’algèbre de Lie sur \(V\), et la sous-variété des lois d’algèbres de Lie nilpotentes d’indice \(\leq n-1\), notée \(N_ n\). Il étudie d’abord la cohomologie des algèbres de Lie nilpotentes, puis montre que la variété \(N_ n\) possède au moins trois composantes irréductibles si \(n\) est impair, et au moins quatre composantes irréductibles si \(n\) est pair.
Il étudie ensuite plus particulièrement deux de ces composantes, et détermine leurs dimensions pour \(n\geq 12\); il étudie également, dans la variété \(N_ n\), le sous-ensemble constitué des algèbres de Lie dont chaque dérivation est nilpotente.
Il obtient une condition nécessaire et suffisante pour qu’une algèbre de Lie filiforme soit caractéristiquement nilpotente, et montre que presque toutes les composantes irréductibles de l’ouvert des algèbres de Lie filiformes (pour \(n\geq 8\)) possèdent des ouverts non vides composés des algèbres de Lie caractéristiquement nilpotentes.

MSC:
17B30 Solvable, nilpotent (super)algebras
17B01 Identities, free Lie (super)algebras
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