The theory of subnormal operators. (English) Zbl 0743.47012

Conway, John B.

Mathematical Surveys and Monographs. 36. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS). xv, 436 p. (1991).

Subnormale Operatoren auf einem Hilbertraum sind solche, die sich zu normalen Operatoren auf einen größeren Hilbertraum fortsetzen lassen. Historische Wurzeln führen z.B. auf Multiplikationsoperatoren in Räumen analytischer Funktionen (im wesentlichen Bergman- oder Hardyräume) auf der Einheitskreisscheibe.
Schon vor 10 Jahren erschien von demselben Autor eine Monographie zu diesen Thema [Subnormal Operators, Pitman, London (1981; Zbl 0474.47013)]. Das vorliegende Werk bringt auf über 400 Seiten eine wesentlich überarbeitete und vervollständigte Darstellung, die auch neueste Entwicklungen berücksichtigt.
Das Buch besteht aus 8 Kapiteln. Nach der Zusammenstellung einiger Hilfsmittel in Kap. 1 bringt Kap. 2 grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Theorie subnormaler Operatoren. In Kap. 3 werden die oben erwähnten Operatorenklassen in Räumen analytischer Funktionen auf der Einheitskreisscheibe diskutiert. Eine Verbindung zur wichtigen Klasse der hyponormalen Operatoren wird in Kap. 4 hergestellt; Näheres kann der interessierte Leser in der neuen Monographie von M. Martin und M. Putinar [Lectures on Hyponormal Operators, Birkhäuser, Boston (1989; Zbl 0684.47018)] finden. Kap. 5 behandelt rationale Approximationen und ihre Anwendung auf allgemeine Operatoren, während Kap. 6 schwach-*-rationalen Approximationen gewidmet ist; hierin gehören die fundamentalen Ergebnisse von J. Thomson, C. Brown, J. Chaumat und D. Sarason. Kap. 7 enthält strukturelle Aussagen über subnormale Operatoren; beispielsweise wird die Existenz analytischer Unterräume bewiesen, und es wird gezeigt, daß subnormale Operatoren reflexiv sind. Schließlich wird im letzten Kap. 8 die Thomsonsche Theorie der analytischen Punktauswertungen diskutiert.
Das Buch enthält sehr viel Material und ist sehr dicht und kompakt geschrieben. Dementsprechend kann es wohl nur von Spezialisten mit Gewinn gelesen werden. Unter diesen allerdings wird es sicher eine enthusiastische Aufnahme finden.

Reviewer: J.Appell (Würzburg)

MSC:

47B20	Subnormal operators, hyponormal operators, etc.
32A35	\(H^p\)-spaces, Nevanlinna spaces of functions in several complex variables
46J15	Banach algebras of differentiable or analytic functions, \(H^p\)-spaces
47-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to operator theory

Keywords:

subnormal operators; spaces of analytic functions; hyponormal operators; rational approximation; analytic point evaluation

Citations:

Zbl 0474.47013; Zbl 0684.47018