Symbolic calculus on nilpotent Lie groups and applications. (Calcul symbolique sur les groupes de Lie nilpotents et applications.) (French) Zbl 0745.22006

Manchon, Dominique

J. Funct. Anal. 102, No. 1, 206-251 (1991).

Let \(\pi\) be an irreducible unitary representation of a real connected simply connected nilpotent Lie group \(G\). Let \(X_ 1,\dots,X_ n\) be a base for the Lie algebra \({\mathfrak g}\) of \(G\). For a function \(p\) on \(\mathbb{R}^ n\) such that \({\mathfrak f}^{-1}p\) is \(C^{\infty}\) with compact support put \[ p^ L(A)=\int_{\mathbb{R}^ n}({\mathfrak f}^{-1}p)(x_ 1\cdots x_ n)\pi(\exp a_ nx_ n\cdots\exp a_ 1x_ 1)dx_ 1\dots dx_ n \] acting on \(D\) the dense subset of \(C^{\infty}\) vectors of \({\mathfrak H}\pi\). The author shows that \(p^ L(A)\) can be viewed as a classical pseudo differential operator and obtains a relation between \(p\) and the symbol of \(p^ L(A)\). He shows further that \(p^ L(A)\) is a smoothing operator if \(p\) vanishes on the orbit associated with \(\pi\).

Reviewer: S.Sankaran (London)

MSC:

22E27	Representations of nilpotent and solvable Lie groups (special orbital integrals, non-type I representations, etc.)
47B38	Linear operators on function spaces (general)

Keywords:

irreducible unitary representation; simple connected nilpotent Lie group; Lie algebra; compact support; pseudo differential operator; smoothing operator; orbit

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