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On the fibration method for proving the Hasse principle and weak approximation. Appendix: A criterion for weak approximation on linear algebraic groups by B. È. Kunyavskij and A. N. Skorobogatov. (English) Zbl 0748.14002
Sémin. Théor. Nombres, Paris/Fr. 1988-89, Prog. Math. 91, 205-219 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0711.00009.]
Sei \({\mathcal X}\) eine Klasse von Varietäten über einem Zahlkörper \(k\). Falls für jedes \(X\in{\mathcal X}\) “\(X_{glatt}(k_ v)\neq\emptyset\) für alle Stellen \(v\) von \(k\)” impliziert, daß \(X_{glatt}(k)\neq\emptyset\), sagt man, daß die Varietäten in \({\mathcal X}\) das glatte Hasse-Prinzip erfüllen und nennt sie \(HP\)- trivial. Wenn \(X_{glatt}(k)\neq\emptyset\), erfüllt \(X\) die schwache Approximationseigenschaft, falls für jede endliche Menge \(S\) von Stellen \(X_{glatt}(k)\) dicht im Produkt \(\prod_{v\in S}X_{glatt}(k_ v)\) liegt. Die Varietäten in \({\mathcal X}\) heißen WA-trivial, wenn sie beide Eigenschaften besitzen. Mit Hilfe der “Faserungsmethode” lassen sich diese Eigenschaften aus den entsprechenden Eigenschaften gewisser Fasern eines projektiven Morphismus \(f:X\to Y\subset_{\text{offen}}\mathbb{A}^ r_ k\), \(\dim(\mathbb{A}^ r_ k\backslash Y)\leq r-2\), folgern. Der Hauptsatz der vorliegenden Arbeit verallgemeinert frühere Resultate in dieser Richtung. Unter den Anwendungen scheint insbesondere der vollständige Schnitt dreier Quadriken im \(\mathbb{P}^ n_ k\), \(n\geq 11\), bemerkenswert zu sein.
In einem Anhang (gemeinsam mit B. Eh. Kunyavskij) wird mit ähnlichen Ideen ein kohomologisches Kriterium für die schwache Approximation auf linearen algebraischen Gruppen über Zahlkörpern bewiesen, das als Korollar das Approximationstheorem von Kneser-Harder- Sansuc liefert.

MSC:
14B12 Local deformation theory, Artin approximation, etc.
14D10 Arithmetic ground fields (finite, local, global) and families or fibrations