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Some properties of a class of Lie algebras wich generalize semi-single Lie algebras. (Certaines propriétés d’une classe d’algèbres de Lie qui généralisent les algèbres de Lie semi-simples.) (French) Zbl 0748.17006
Soit \(\mathfrak g\) une algèbre de Lie sur \(K=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\). On désigne respectivement par \(\text{Der}({\mathfrak g})\), \(\text{ad}({\mathfrak g})\), \(R({\mathfrak g})\), l’algèbre des dérivations de \(\mathfrak g\), l’idéal des dérivations intérieures, le centre de \(\mathfrak g\), le radical de \(\mathfrak g\). L’auteur définit les algèbres de Lie sympathiques et montre qu’elles vérifient certaines propriétés classiques des algèbres de Lie semi-simples.
Une algèbre de Lie est dite sympathique si elle vérifie \({\mathfrak g}=[{\mathfrak g,g}]\), \(\text{Der}(\mathfrak g)=\text{ad}(g)\), \(Z({\mathfrak g})=\{0\}\). L’auteur prouve les propriétés suivantes:
(i) soit \(g\) une algèbre de Lie, \(I\) un idéal sympathique, alors \(I\) est facteur direct;
(ii) une algèbre de Lie est sympathique si et seulement si elle est somme directe d’idéaux sympathiques irréductibles;
(iii) toute extension de deux algèbres de Lie sympathiques est sympathique et triviale.
Il annonce l’étude prochaine de la question suivante: les algèbres de Lie sympathiques sont-elles rigides?

MSC:
17B20 Simple, semisimple, reductive (super)algebras
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] Angelopoulos ( E. ) .- Algèbres de Lie satisfaisant g = [g,g], Der(g) = ad(g) , C.R. Acad. Sci. Paris , t. 306 ( 1988 ), pp. 523 - 525 . MR 941616 | Zbl 0647.17006 · Zbl 0647.17006
[2] Bourbaki ( N. ) . - Groupes et algèbres de Lie , Hermann Paris , chap. 1 ( 1971 ). MR 271276 | Zbl 0213.04103 · Zbl 0213.04103
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