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Courbes polaires et topologie des courbes planes. (Polar curves and the topology of plane curves). (French) Zbl 0748.32018
Soit \(f\) un germe de fonction analytique réduit au voisinage de 0 dans \(\mathbb{C}^ 2\). On peut d’après J. Milnor [Singular points of complex hypersurfaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press (1968; Zbl 0184.48405)] étudier la singularité en 0 de \(X=f^{-1}(0)\) à partir de la classe d’isotopie de \(K_ \varepsilon=X\cap S_ \varepsilon\) \((S_ \varepsilon\) est la sphère de centre 0 et de rayon \(\varepsilon\) assez petit). A son tour l’étude de \(K_ \varepsilon\) peut se faire par celle du complémentaire \(M_ \varepsilon\) d’un petit voisinage tubulaire de \(K_ \varepsilon\) dans \(S_ \varepsilon\) qui est une variété à bord.
La première partie de l’article rappelle comment, à partir d’une résolution de la singularité de \(X\), on peut construire une décomposition de \(M_ \varepsilon:M_ \varepsilon=\cup V_ i\) où les \(V_ i\) sont des variétés (de Siefert) fibrées en cercles telles que \(V_ i\cap V_ j\) \((i\neq j)\) soit une réunion finie (éventuellement vide) de tores deux à deux disjoints. Une telle décomposition vérifiant des hypothèses raisonnables de minimalité (décomposition de Waldhausen) est unique à isotopie près et fournit donc un invariant topologique de \(X\). En particulier elle donne une famille \({\mathcal P}_{top}\) de rationnels obtenue en associant à chaque \(V_ i\) le quotient \({\mathcal L}(\rho_ j,K)/b(\rho_ j)\) où \(\rho_ j\) est une fibre régulière de \(V_ i\), \({\mathcal L}(\rho_ j,K)\) est le coefficient d’enlacement de \(\rho_ j\) et de \(K\) et \(b(\rho_ j)\) est le “braid index” de \(\rho_ j\).
La deuxième partie fournit une autre méthode pour obtenir cette décomposition à partir des courbes polaires de \(X\). Plus précisément, si la droite \(x=0\) n’est pas dans le cone tangent à \(f\) on pose \(\varphi(x,y)=(x,f(x,y))\) et on construit une paire \((\Sigma,M_ B)\) difféomorphe à \((S_ \varepsilon, M_ \varepsilon)\) telle que \(\varphi\) induise un revêtement ramifié de \(M_ B\) sur un tore plein \(N=D_ \theta^ 2\times S^ 1_ \eta\). On note alors \(\Gamma\) la courbe polaire de \(X\) associée à \(x=0\) définie par \(\det\varphi'=0\). A chaque composante irréductible \(\gamma\) de \(\Gamma\) on associe le “quotient polaire” \(q(\gamma)=m_ 0(f\cap\gamma)/m_ 0(\gamma)\) \((m_ 0\) désigne la multiplicité en 0). A l’aide de ces \(q(\gamma)\) on détermine une décomposition de \(N\) en \(Z_ i\) (\(Z_ 1\) tore plain, \(Z_ i\) tore épaissi pour \(i\geq 2)\) et l’on prouve que les \(\varphi^{-1}(Z_ i)\cap B_ \varepsilon\) donnent une décomposition de \(M_ B\) en variétés de Siefert. De cette décomposition on tire alors la décomposition minimale de Waldhausen.
De cette étude il ressort que l’ensemble \({\mathcal P}\) des quotients polaires coïncide avec \({\mathcal P}_{top}\) sauf dans le cas où le cone tangent à \(f\) est formé de 2 droites distinctes; dans ce dernier cas on a \({\mathcal P}={\mathcal P}_{top}\cup\{m_ 0(f)\}\).
Enfin cette méthode fournit une description de la monodromie quasi finie de la fibration de \(M_ B\) sur \(S^ 1_ \eta\) induite par \(f\) (qui est isomorphe à la fibration de \(M_ \varepsilon\) sur \(S^ 1\) induite par \(f/| f|)\).

MSC:
32S05 Local complex singularities
32S45 Modifications; resolution of singularities (complex-analytic aspects)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] J. W. ALEXANDER , On the Subdivision of 3-Sphere by a Polyhedron (Proc. Nat. Acad. Sci., vol. 10, 1924 , p. 6-8). JFM 50.0659.01 · JFM 50.0659.01
[2] N. A’CAMPO , Sur la monodromie des singularités isolées d’hypersurfaces complexes (Inv. Math., vol. 20, 1973 , p. 147-169). MR 49 #3201 | Zbl 0264.14002 · Zbl 0264.14002
[3] E. BRIESKORN et H. KNÖRRER , Plane Algebraic Curves , Birkhäuser Verlag, 1986 . · Zbl 0588.14019
[4] D. EISENBUD et W. NEUMANN , Three-Dimensional Link Theory and Invariants of Plane Curve Singularities , Princeton University Press. Zbl 0628.57002 · Zbl 0628.57002
[5] W. JACO , Lectures on Three-Manifold Topology , A.M.S., n^\circ 43, 1980 . MR 81k:57009 | Zbl 0433.57001 · Zbl 0433.57001
[6] W. JACO et P. SHALEN , Seifert Fibered Spaces in Three-Manifolds , A.M.S., Memoirs, n^\circ 220. · Zbl 0471.57001
[7] T. C. KUO et Y. C. LU , On Analytic Function Germs of Two Complex Variables (Topology, vol. 16, 1977 , p. 299-310). MR 57 #704 | Zbl 0378.32001 · Zbl 0378.32001
[8] D. T. LÊ , Courbes polaires et résolution des courbes planes , preprint. · Zbl 0649.14008
[9] D. T. LÊ , Calcul des cycles évanouissants des hypersurfaces complexes (Ann. Inst. Fourier, fasc. 4, 1973 , p. 261-270). Numdam | Zbl 0293.32013 · Zbl 0293.32013
[10] D. T. LÊ , Sur un critère d’équisingularité (C.R. Acad. Sci. Paris, t. 272, série A, 1971 , p. 138-140). MR 42 #8526 | Zbl 0209.24402 · Zbl 0209.24402
[11] D. T. LÊ , Topological Use of Polar Curves (Proc. Symp. Pure Math., vol. 29, 1975 , p. 507-512). MR 51 #10681 | Zbl 0323.14003 · Zbl 0323.14003
[12] D. T. LÊ , F. MICHEL et C. WEBER , Sur le comportement des polaires associées aux germes des courbes planes , preprint.
[13] M. MERLE , Invariants polaires des courbes planes (Inv. Math., vol. 41, 1977 , p. 103-111). MR 57 #330 | Zbl 0371.14003 · Zbl 0371.14003
[14] F. MICHEL , Courbes polaires pour les singularités de type ”arbre de Noël” , preprint. · Zbl 0662.32007
[15] J. MILNOR , Singular Points of Complex Hypersurfaces , Princeton University Press, 1968 . MR 39 #969 | Zbl 0184.48405 · Zbl 0184.48405
[16] F. MICHEL et C. WEBER , Topologie des germes de courbes planes à plusieurs branches , prépublication de l’Université de Genève, 1985 .
[17] P. ORLIK , E. VOGT et H. ZIESCHANG , Zu topologie gefaserter dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten (Topology, vol. 6, 1967 , p. 49-64). MR 35 #3696 | Zbl 0147.23503 · Zbl 0147.23503
[18] H. SCHUBERT , Uber eine numerische knoteninvariante (Math. Zeitschr., vol. 61, 1954 , p. 245-288). Article | MR 17,292a | Zbl 0058.17403 · Zbl 0058.17403
[19] B. TEISSIER , Invariants polaires des singularités d’hypersurfaces (Inv. Math., vol. 40, 1977 , p. 267-292). MR 57 #10004 | Zbl 0446.32002 · Zbl 0446.32002
[20] B. TEISSIER , Introduction to Equisingularity Problems (Proc. Symp. Pure Math., vol. 29, 1975 , p. 593-632). MR 54 #10247 | Zbl 0322.14008 · Zbl 0322.14008
[21] B. TEISSIER , Polyèdre de Newton-jacobien et équisingularité , in Séminaire sur les singularités (Publications Math. Univ. Paris-III, n^\circ 7, 1980 ). MR 84h:14007
[22] F. WALDHAUSEN , Eine klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten (Inv. Math., vol. 3, 1967 , p. 308-333 et Inv. Math., vol. 4, 1967 , p. 87-117). MR 38 #3880 | Zbl 0168.44503 · Zbl 0168.44503
[23] C. WEBER , A Topological Interpretation for the Polar Quotients of an Algebraic Plane Curve Singularity (Proc. of the Siegen Math. Symp., July 1987 ). Zbl 0664.57003 · Zbl 0664.57003
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