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Classes des corps surcirculaires et des corps de fonctions. (Classes of supercyclotomic fields and function fields). (French) Zbl 0751.11052
Théorie des nombres, Sémin., Paris/Fr. 1989-90, Prog. Math. 102, 141-162 (1992).
[For the entire collection see Zbl 0741.00051.]
L’identité classique de Riemann-Hurwitz donne, en termes de ramification, le changement de genres dans un revêtement de surfaces de Riemann compactes connexes. Une identité analogue, dite de Deuring- Shafarevich, existe pour les courbes algébriques lisses complètes sur un corps algébriquement clos de caractéristique quelconque. L’analogue des formules précédentes pour les corps de nombres concerne les invariants \(\lambda\) associés à certains modules d’Iwasawa.
Plus précisément, soit \(K\) la \(\mathbb{Z}_ p\)-extension cyclotomique d’un corps \(CM\), et soit \(X_ 1\) (resp. \(X_ 2\), resp. \(X_ 3)\) le groupe de Galois sur \(K\) de la \(p\)-extension abélienne \(p\)-ramifiée (resp. non ramifiée, resp. non ramifiée et \(p\)-décomposée) maximale de \(K\). En supposant la nullité de l’invariant \(\mu\), la formule de Wingberg (resp. Kida, resp. Kuz’min) donne, en termes de ramification ou de décomposition, le changement d’invariants \(\lambda_ 1^ +\) (resp. \(\lambda^ -_ 2\), resp. \(\lambda^ -_ 3)\) dans une \(p\)-extension finie de \(K\). Les relations entre les divers invariants \(\lambda\) étant connues, par le corps de classes ou par “Spiegelung” [voir K. Wingberg, Compos. Math. 55, 333-381 (1985; Zbl 0608.12012)], les trois identités de Wingberg, Kida et Kuz’min sont essentiellement équivalentes. Dans cet exposé, les auteurs proposent une démonstration unifiée des formules de Deuring-Shafarevich et de Kuz’min.
Le principe [qui remonte à K. Iwasawa, Tôhoku Math. J., II. Ser. 33, 263-288 (1981; Zbl 0468.12004)] consiste à se ramener, par “dévissage”, à une extension cyclique de degré \(p\), puis à étudier la représentation galoisienne fournie par le \(p\)-groupe des classes de \(p\)-idéaux imaginaires (resp. des classes de diviseurs de degré 0) dans le cas arithmétique (resp. géométrique). Des considérations cohomologiques standard permettent alors de réduire le problème au calcul d’un certain quotient de Herbrand. La nécessité, dans le cas arithmétique, de se limiter aux invariants \(\lambda^ -_ 3\), provient de la non-connaissance du quotient de Herbrand des \(p\)- unités au niveau infini.
Remarque: On peut surmonter cette dernière difficulté, du moins dans certains cas favorables, en remplaçant les groupes de classes et d’unités par des groupes de \(K\)-théorie \((K_ 2\) et \(K_ 3^{ind})\). Voir T. Nguyen Quang Do [“\(K_ 3\) et formules de Riemann-Hurwitz \(p\)-adiques”, prépublication (1992)].

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11R18 Cyclotomic extensions
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
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