Klyachko, A. A. Rationality of tori with cyclic decomposition field. (Russian) Zbl 0751.14031 Arithmetic and geometry of varieties, Interuniv. Collect. Sci. Works, Kujbyshev, 73-78 (1988). [For the entire collection see Zbl 0697.00009.]Soient \(k\) un corps et \(T\) un \(k\)-tore algébrique de dimension \(d\). Supposons qu’il existe un espace affine \(\mathbb{A}^ n_ k\) tel que le produit \(T\times_ k\mathbb{A}^ n_ k\) soit \(k\)-birationnel à l’espace affine \(\mathbb{A}_ k^{n+d}\) (on dit alors que \(T\) est stablement \(k\)- rationnel). Supposons de plus \(T\) déployé par une extension cyclique de \(k\). On ne sait pas si \(T\) est alors automatiquement \(k\)-rationnel (i.e. si l’on peut alors prendre \(n=0)\), autrement dit si le problème de Zariski a une réponse affirmative pour de tels tores. Des travaux sur ce sujet ont été faits par Bashmakov, Chistov, Voskresenskij et l’auteur [voir V. E. Voskresenskij, “Algebraic tori” (Moskva 1977; Zbl 0499.14013) et V. E. Voskresenskij et l’A. [Math. USSR, Izv. 24, 221-244 (1985); translation from Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 48, 237-263 (1984; Zbl 0572.14029)].Pour établir une réponse affirmative, il suffirait de l’établir pour les tores \(T_ n\) dont le groupe des caractères est l’anneau des entiers \(\mathbb{Z}[\zeta_ n]\), pour \(n\) produit de nombres premiers. Le cas \(n\) premier était connu, ainsi que certains cas \(n=pq\), \(p\) et \(q\) premiers. Dans la présente note, en utilisant les techniques déjà employées dans son article avec Voskresenskij (étude de certains quotients de Grassmanniennes par l’action de tores), l’auteur établit le résultat dans le cas \(n=pq\), \(p\) et \(q\) premiers quelconques. Reviewer: J.L.Colliot-Thélène (Orsay) Cited in 2 ReviewsCited in 4 Documents MSC: 14M25 Toric varieties, Newton polyhedra, Okounkov bodies 14M20 Rational and unirational varieties Keywords:stably rational torus; cyclic extension of torus Citations:Zbl 0697.00009; Zbl 0499.14013; Zbl 0572.14029 × Cite Format Result Cite Review PDF