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Complete and atomic algebras of the infinite valued Łukasiewicz logic. (English) Zbl 0753.03026
Eine \(W\)-Algebra ist eine Algebra \({\mathfrak A}=\langle A,\Rightarrow,\neg,u\rangle\), für die \(u\in A\), \(\neg\) eine unäre und \(\Rightarrow\) eine binäre Operation auf \(A\) sind, wobei \(u\Rightarrow x=x\), \((x\Rightarrow y)\Rightarrow((y\Rightarrow z)\Rightarrow(x\Rightarrow z))=u\), \((x\Rightarrow y)\Rightarrow y=(y\Rightarrow x)\Rightarrow x\), \((\neg x\Rightarrow \neg y)\Rightarrow(y\Rightarrow x)=u\) gelten. Die Operationen \(\lor\) und \(\land\) werden folgendermaßen definiert: \(x\lor y=(x\Rightarrow y)\Rightarrow y\), \(x\land y=\neg(\neg x\lor \neg y)\), und \(\neg u\) wird mit 0 bezeichnet.
Wenn \(x\leq y\) durch \(x\Rightarrow y=u\) definiert wird, dann ist \(L{\mathfrak A}=\langle A,\lor,\land,0,u\rangle\) teilweise geordnet, wobei 0 und \(u\) das kleinste bzw. das größte Element sind, \(\lor\) und \(\land\) aber sup bzw. inf bedeuten. In \(L{\mathfrak A}\) ist \(\land\) distributiv hinsichtlich \(\lor\). Wenn \(L{\mathfrak A}\) vollständig ist (sup und inf existieren auch für unendliche Teilmengen), dann wird \(\mathfrak A\) vollständig genannt. \(\mathfrak A\) wird eine atomare \(W\)-Algebra genannt, wenn \(L{\mathfrak A}\) atomar ist.
Es wird bewiesen, daß für jede \(W\)-Algebra \(\mathfrak A\) in \(L{\mathfrak A}\) auch die unendliche Distributivregel gilt. Daraus folgt, daß bei einer vollständigen \(W\)-Algebra \(\mathfrak A\), \(L{\mathfrak A}\) eine (vollständige) Heyting-Algebra ist. Ein weiteres Resultat ist die folgende Distributivregel für \(\Rightarrow\) in \(W\)-Algebren: Wenn \(\sup_ \iota\{x_ \iota\}\) existiert, dann existiert auch \(\sup_ \iota\{x\Rightarrow x_ \iota\}\), wobei \(x\Rightarrow\sup_ \iota\{x_ \iota\}=\sup_ \iota\{x\Rightarrow x_ \iota\}\). Zum Schluß werden notwendige und hinreichende Bedingungen gegeben, wann eine \(W\)-Algebra vollständig bzw. atomar ist.
Reviewer: A.Tauts (Tallinn)

03G10 Logical aspects of lattices and related structures
03B50 Many-valued logic
03G20 Logical aspects of Łukasiewicz and Post algebras
Full Text: DOI
[1] L. P. Belluce, Semisimple algebras of infinite valued logic, Canadian Journal of Mathematics 38 (1986), pp. 1356-1379. · Zbl 0625.03009
[2] G. Birkhoff, Lattice Theory, 3rd. edition, American Mathematical Society, Providence, R. L., 1967. · Zbl 0153.02501
[3] C. C. Chang, Algebraic analysis of many-valued logics, Transactions of the American Mathematical Society 88 (1958), pp. 467-490. · Zbl 0084.00704
[4] C. C. Chang, A new proof of the completeness of the ?ukasiewicz axioms, Transactions of the American Mathematical Society 93 (1959), pp. 74-80. · Zbl 0093.01104
[5] J. M. Font, A. J. Rodriguez and A. Torrens, Wajsberg algebras, Stochastica 8 (1984), pp. 5-31.
[6] K. Iseki and S. Tanaka, An introduction to the theory of BCK-algebras, Mathematica Japonica 23 (1978), pp. 1-26. · Zbl 0385.03051
[7] Y. Komori, The separation theorem of the ?0-valued ?ukasiewicz propositional logic, Reports of the Faculty of Sciences, Shizuoka University 12 (1978), pp. 1-5. · Zbl 0377.02021
[8] Y. Komori, Super ?ukasiewicz propositional logics, Nagoya Mathematical Journal 84 (1981), pp. 119-133. · Zbl 0482.03007
[9] F. Lacava, Alcune proprietá delle ?-algebre e delle ?-algebre esistenzialmente chiuse, Bolletino Unione Matemtica Italiana A(5), 16 (1979), pp. 360-366. · Zbl 0427.03024
[10] P. Mangani, Su certe algebre connesse con logiche a piú valori, Bolletino Unione Matematica Italiana (4) 8 (1973), pp. 68-78. · Zbl 0274.02007
[11] A. Monteiro, Sur les algèbres de Heyting simétriques, Portugalia Mathematica 39 (1984), pp. 1-237.
[12] D. Mundici, Interpretation of AFC *-algebras in ?ukasiewicz sentential calculus, Journal of Functional Analysis 65 (1985), pp. 15-63. · Zbl 0597.46059
[13] D. Mundici, MV-algebras are categorically equivalent to bounded commutative BCK-algebras, Mathematica Japonica 31 (1986), pp. 889-894. · Zbl 0633.03066
[14] A. J. Rodríguez, Un estudio algebraico de los cálculos proposicionales de ?ukasiewicz, Tesis Doctoral, Universidad de Barcelona, 1980.
[15] A. Romanowska and T. Traczyk, On commutative BCK-algebras, Mathematica Japonica 25 (1980), pp. 567-583. · Zbl 0448.03051
[16] A. Romanowska and T. Traczyk, Commutative BCK-algebras. Subdirectly irreducible algebras and varieties, Mathematica Japonica 27 (1982), pp. 35-48. · Zbl 0503.03031
[17] A. Tarski, Logic, Semantics, Metamathematics, Clarendon Press, Oxford, 1950.
[18] A. Torrens, W-algebras which are Boolean products of members of SR[1] and CW-algebras, Studia Logica 46 (1987), pp. 263-272. · Zbl 0621.03042
[19] A. Torrens, Boolean products of CW-algebras and pseudo-commplementation, Reports on Mathematical Logic 23 (1989), pp. 31-38. · Zbl 0741.06009
[20] T. Traczyk, On the variety of bounded commutative BCK-algebras, Mathematica Japonica 24 (1979), pp. 238-292. · Zbl 0422.03038
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