Die Theorie der optimalen Einparameteruntergruppen für instabile Vektoren. (Theory of optimal one parametrical subgroups for instable vectors). (German) Zbl 0753.14006

Slodowy, Peter

Algebraische Transformationsgruppen und Invariantentheorie, DMV Semin. 13, 115-131 (1989).

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Es bezeichne \(V\) einen endlichdimensionalen Vektorraum über einem algebraisch abgeschlossenen Körper \(k\), \(G\) eine reduktive \(k\)-Gruppe, die auf \(V\) linear und rational operiert, \(H\leq G\) sei eine abgeschlossene Untergruppe. Ein Vektor \(v\in V\) heißt instabil bezüglich \(H\), falls der Nullvektor im Abschluß \(\overline {Hv}\) der \(H\)-Bahn von \(v\) liegt. Nach Hilbert und Mumford läßt sich die Instabilität bereits mit Hilfe einparametriger Untergruppen testen, genauer gilt folgender Satz:
Ein Vektor \(v\in V\) ist instabil bezüglich \(G\) genau dann, wenn es einen Homomorphismus \({\ell:G_ m\to G}\) gibt so daß \(v\) instabil bezüglich \(\ell(G_ m)\) ist \((G_ m\) die multiplikative 1- dimensionale Gruppe).
Die Wahl des Homomorphismus \(\ell\) ist nicht eindeutig; die von Mumford gestellte Aufgabe, eine möglichst natürliche Klasse von einparametrigen Untergruppen auszuzeichnen, bezüglich deren \(v\) instabil wird, ist von Kempf und unabhängig davon von Rousseau gelöst worden. In der vorliegenden Arbeit werden die Argumente von Kempf präsentiert und dabei eine mehr elementargeometrische Interpretation der Konstruktion von Kempf herausgearbeitet.

Reviewer: H.-J.Bartels (Mannheim)

MSC:

14L24	Geometric invariant theory
14L30	Group actions on varieties or schemes (quotients)
57S25	Groups acting on specific manifolds
13A50	Actions of groups on commutative rings; invariant theory

Keywords:

instable vectors; geometric invariant theory; Hilbert-Mumford-criterion; one parameter subgroup

Citations:

Zbl 0682.00008