Finite elements. Theory, fast solvers and applications in elasticity theory. (Finite Elemente. Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie.) (German) Zbl 0754.65084

Braess, Dietrich

Springer-Lehrbuch. Berlin: Springer-Verlag. xiv, 302 S. (1992).

Mit dem vorliegenden Lehrbuch ist es dem Autor gelungen, dem an der Theorie der Methode der finiten Elemente interessierten Leser eine vortreffliche Darstellung anzubieten, mit der zu den wesentlichsten Aspekten eine vollständige Übersicht gegeben wird und die neuesten Forschungsergebnisse zusammengestellt werden.
Nach einer Einführung über die Problemstellungen bei partiellen Differentialgleichungen mit den korrekten Formulierungen werden im zweiten Kapitel diejenigen theoretischen Grundlagen bereitgestellt, die für die einfachen Methoden zur Behandlung von skalaren elliptischen Randwertaufgaben zweiter Ordnung nötig sind. Es werden die Sobolev- Räume eingeführt, die Variationsformulierung behandelt und das Ritz- Galerkin-Verfahren beschrieben. Anschließend werden die Finite- Element-Räume vorgestellt und die einschlägigen Approximationssätze und Fehlerabschätzungen entwickelt.
Im dritten Kapitel werden bedeutend tieferliegende funktionalanalytische Methoden behandelt, welche zur theoretischen Erfassung von krummlinigen Rändern, von nichtkonformen Elementen und von Extremalaufgaben mit Nebenbedingungen, die zu Sattelpunktproblemen führen, benötigt werden. Diese theoretischen Ergebnisse werden insbesondere bei den gemischten Methoden der Mechanik gebraucht, und sie werden angewandt zur Behandlung des Stokes-Problems.
Im vierten Kapitel werden die klassischen iterativen Verfahren zur Lösung von sehr großen linearen Gleichungssystemen behandelt mit einem Schwerpunkt auf der Methode der konjugierten Gradienten mit Vorkonditionierung. Im nächsten Kapitel wird die Grundidee sowie die verschiedenen Varianten der Mehrgitterverfahren sehr ausführlich zusammen mit den Konvergenz- und Approximationseigenschaften dargelegt und damit für die wohl effizientesten Gleichungslöser von linearen und nichtlinearen Systemen die neuesten theoretischen Resultate vermittelt.
Das große Anwendungsgebiet der finiten Elemente wird abgerundet durch einen Ausblick auf die lineare Elastizitätstheorie. Dabei werden die verschiedenen Variationsformulierungen herausgearbeitet, die Scheiben-, Balken- und Plattenelemente beschrieben, und vor allem wird auf den Zusammenhang zwischen den Modellen der Kirchhoff-Platte und der Mindlin- Reissner-Platte eingegangen.

Reviewer: H.R.Schwarz (Zürich)

MSC:

65N30	Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
74S05	Finite element methods applied to problems in solid mechanics
65-02	Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65F10	Iterative numerical methods for linear systems
65N55	Multigrid methods; domain decomposition for boundary value problems involving PDEs
35J25	Boundary value problems for second-order elliptic equations
35J40	Boundary value problems for higher-order elliptic equations
65F35	Numerical computation of matrix norms, conditioning, scaling
74B05	Classical linear elasticity
74K20	Plates
65N22	Numerical solution of discretized equations for boundary value problems involving PDEs
46E35	Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems

Keywords:

finite elements; variational formulation; convergence; conjugate gradients; multigrid methods; linear elasticity; second order elliptic equations; Sobolev spaces; Ritz-Galerkin method; error estimates; Stokes equation; iterative methods; preconditioning