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Grapes, polynomials, tableaux. (Weintrauben, Polynome, Tableaux.) (German) Zbl 0755.05095
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit einer neuen kombinatorischen Integerpretation von Polynomen, die sich im Zusammenhang mit Schubertpolynomen ergeben. Dies sind insbesondere Schurpolynome und Gaußpolynome. Bei den neuen kombinatorischen Objekten, den Weintrauben, handelt es sich um 0-1-Matrizen. Mittels einer sehr einfachen Operation kann aus einem Startobjekt \(w\) eine endliche Menge von Weintrauben erzeugt werden. Diese Menge \(S(w)\) kann dann als Polynom oder als Menge von Tableaux interpretiert werden. Diese Grundlagen werden in Kapitel I definiert.
Schubertpolynome sind Polynome in mehreren Variablen und wurden erstmals von Lascoux und Schützenberger in einer 1982 erschienenen Arbeit definiert. Sie werden durch Permutationen indiziert, und im Falle von Permutationen mit einem einzigen Abstieg sind es Schurpolynome. Auf diese Zusammenhänge wird im Kapitel II eingegangen. Da es für Schurpolynome die bekannte kombinatorische Interpretation als Summe von Tableaux mit gegebenem Umriß und gegebenem maximalen Eintrag gibt, stellt sich die Frage nach der Interpretation der Schubertpolynome. Diese Frage wurde von Lascoux und Schützenberger in einer Arbeit aus dem Jahr 1988 beantwortet. Ein Schubertpolynom ist demnach eine Vereinigung von Tableauxmengen \(T_ I\), wobei jede einzelne Menge eine Teilmenge einer Tableauxmenge eines Schurpolynoms ist und verschiedene Mengen aus Tabeleaux mit verschiedenem Umriß bestehen können.
Im Kapitel III werden spezielle Weintrauben \(w\) definiert, so daß man die Schurpolynome, Gaußpolynome und auch die Schiefschurpolynome als \(S(w)\) erhält. Hierbei wird \(S(w)\) wie oben erwähnt als Polynom interpretiert. Dies ermöglicht z.B. einen einfachen Algorithmus zur Erzeugung aller Schieftableaux. Ferner gelingt es auch, die Menge \(T_ I\) in der Form \(S(w)\) dazustellen.

MSC:
05E10 Combinatorial aspects of representation theory
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