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Some remarks on Beukers’ integrals. (English) Zbl 0755.11019
Number theory. Vol. II. Diophantine and algebraic, Proc. Conf., Budapest/Hung. 1987, Colloq. Math. Soc. János Bolyai 51, 637-657 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0694.00006.]
F. Beukers [Bull. Lond. Math. Soc. 11, 268-272 (1979; Zbl 0421.10023)] betrachtete uneigentliche Integrale der Form \[ \int_ 0^ 1 \int_ 0^ 1{(-\log xy)^ k \over 1-xy} F_ n(x,y) dx dy\tag{*} \] mit geeignet gewählten \(F_ n\in\mathbb{Z}[x,y]\) für \(k=0\) bzw. \(k=1\) zum Irrationalitätsbeweis von \(\zeta(2)\) (\(=\pi^ 2/6\)) bzw. \(\zeta(3)\) und auch zur Gewinnung von Irrationalitätsmaßen dieser beiden Zahlen. Die Verfasser der vorliegenden Arbeit variieren den Beukersschen Ansatz durch aufwendigere Wahlen der \(F_ n\) und zeigen so: (1) Das Irrationalitätsmaß von \(\zeta(2)\) bzw. \(\zeta(3)\) ist höchstens 10,02979 bzw. 12,74359. (2) Wenn 1, \(\zeta(2)\) bzw. \(\zeta(3)\) über \(\mathbb{Q}\) linear abhängig sind, haben \(\zeta(2)\) und \(\zeta(3)\) ein Irrationalitätsmaß \(\leq7,04826\). Hierzu werden dreidimensionale Integrale des Typs (*) herangezogen.
[Anmerkung: Hara hat inzwischen gezeigt, daß das Irrationalitätsmaß von \(\zeta(2)\) höchstens 7,5252 ist].

MSC:
11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J82 Measures of irrationality and of transcendence