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Quelques méthodes d’étude de la propagation d’oscillations hyperboliques non linéaires. (Certain methods for the investigation of the propagation of nonlinear hyperbolic oscillations). (French) Zbl 0755.35071

Sémin. Équ. Dériv. Partielles, Éc. Polytech., Cent. Math., Palaiseau 1990-1991, No.XX, 18 p. (1991).
L’exposé a fait le bilan sur les deux méthodes principales. La première, rigoureuse, étudie, via la compacité par compensation, la mesure de Young associée à des suites \(u^ \varepsilon\) de solution d’un système hyperbolique non linéaire \(\partial_ tu+\partial_ xf(u)=0\). La seconde, formelle, étudie les suites de la forme \(u^ \varepsilon(x,t)=u^ 0(x,t,\varepsilon^{-t}\varphi(x,t))+\varepsilon u^ 1+O(\varepsilon^ 2)\). La première méthode, lorsqu’elle est possible, valide la seconde, Celle-ci fait introduire, dans des cas plus généraux, un nouveau concept d’hyperbolicité. On notera que les oscillations étudiées sont de grande amplitude. Elles indiquent assez souvent que le problème de Cauchy est mal posé dans \(L^ \infty\) faible-étoile.

MSC:

35L65 Hyperbolic conservation laws
35L60 First-order nonlinear hyperbolic equations
35A25 Other special methods applied to PDEs
35B05 Oscillation, zeros of solutions, mean value theorems, etc. in context of PDEs
46E35 Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems

Citations:

Zbl 0606.35050
Full Text: Numdam EuDML