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On Diophantine approximation by algebraic numbers of a given number field: a new generalization of Dirichlet approximation theorem. (English) Zbl 0756.11016

Journées arithmétiques, Exp. Congr., Luminy/Fr. 1989, Astérisque 198-200, 273-283 (1991).
[For the entire collection see Zbl 0743.00058.]
Der folgende Satz wird bewiesen: Es sei \(K\) ein algebraischer Zahlkörper vom Grad \(n\), der Signatur \((r,s)\) und der Diskriminante vom Betrag \(D\). \(B\) sei die Minkowskische Schranke, \(B=(4/\pi)^ S(n!/n^ n)\sqrt{D}\): \(A\) der Ring der ganzen Zahlen in \(K\), \(\sigma\) “die Einbettung” von \(A\) in \(\mathbb R^ r\times\mathbb C^ s\), \(\alpha\in\mathbb R^ r\times\mathbb C^ s-\sigma(K)\). Dann gibt es zu jedem \(m>0\) unendlich viele verschiedene rationale Zahlen \(p/q\) mit \(p,q\in A\), so daß \(d(\sigma(q))>m\) und \[ 0<d(\alpha\sigma(q)-\sigma(p))<n^ 2 B^{2/n}/d(\sigma(q)). \] Dabei ist für \(x\in\mathbb R^ r\times\mathbb C^ s\), \(d(x)=| x_ 1|+\dots+| x_ r|+2| x_{r+1}|+\dots+2| x_{r+s}|\).

MSC:

11J17 Approximation by numbers from a fixed field
11J68 Approximation to algebraic numbers

Citations:

Zbl 0743.00058
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