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Martingales on Riemannian manifolds with prescribed limit. (English) Zbl 0758.60051

Il est bien connu que la théorie des martingales (locales) à valeurs réelles a de fortes relations avec la théorie des équations aux dérivées partielles sur une variété (problème final pour une équation du type de la chaleur, ou probléme de Dirichlet): c’est le probléme des martingales. On est ainsi amenés à chercher une martingale locale (ou plus précisément une probabilité) convergent vers une limite donnée. Il est également connu que, si \(V\) est une variété riemannienne on peut définir la notion de martingale à valeurs dans \(V\).
L’auteur étudie donc les martingales à valeurs dans \(V\) ayant une limite donnée. Il donne un résultat d’existence et d’unicité, ainsi que les relations de ce problème avec certaines équations aux dérivées partielles non linéaires. Les principaux outils sont des estimations de la dérivée de la distance géodésique sur \(V\), ainsi que le calcul différentiel sur l’espace de Wiener (calcul de Malliavin).

MSC:

60H07 Stochastic calculus of variations and the Malliavin calculus
60G44 Martingales with continuous parameter
58J65 Diffusion processes and stochastic analysis on manifolds
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