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Iwasawa theory, factorizability and the Galois module structure of units. (English) Zbl 0759.11039
p-adic methods and their applications, Proc. Meet., Manchester/UK 1989, 113-142 (1992).
[For the entire collection see Zbl 0743.00039.]
L’auteur met en œvre la notion d’équivalence factorielle entre modules galoisiens introduite par Fröhlich et son école qu’il illustre dans diverses situations arithmétiques et applique en particulier à la description galoisienne des groupes de \(S\)-unités. Son approche, beaucoup plus algébrique que celle d’A. Fröhlich [Ill. J. Math. 32, 407-421 (1988; Zbl 0664.12007)] s’appuie sur les théorèmes de structure de la théorie d’Iwasawa des \(\mathbb{Z}_ p\)- estensions.
Rappelons que si \(G\) est un groupe abélien fini, deux \(\mathbb{Z}_ p[G]\)- modules \(M\) et \(N\) sont dits isogènes s’ils ont le même caractère c’est-à-dire lorsqure les \(\mathbb{Q}_ p\)-espaces vectoriels \(\mathbb{Q}_ p\otimes M\) et \(\mathbb{Q}_ p\otimes N\) sont \(\mathbb{Q}_ p[G]\)-isomorphes. Leur module de défaut \(j_{M,N}(G)\) est alors, par définition, l’idéal fractionnaire de \(\mathbb{Z}_ p\) engendré par le quotient \((M:M^{\mathfrak M})/(N:N^{\mathfrak M})\) où \(M^{\mathfrak M}\) (resp. \(N^{\mathfrak M})\) est le plus grand sous-module de \(M\) (resp. \(N)\) sur lequel opère l’ordre maximal \({\mathfrak M}\) de \(G\). Et on dit que \(M\) et \(N\) sont factoriellement équivalents lorsque \(j_{M,N}\) est factorisable, c’est-à-dire lorsqu’ il existe une application \(g\) défine sur le groupe \(\hat G\) des caractères de \(G\), à valeurs dans le groupe \(I(\overline\mathbb{Z}_ p)\) des idéaux fractionnaires de la clôture intégrale de \(\mathbb{Z}_ p\), qui vérifie les trois axiomes: (i) \(g(\chi)\in I(\mathbb{Z}_ p(\chi)),\;\forall\chi\in\hat G\); (ii) \(g(\chi^ \omega)=g(\chi),\;\forall\omega\in\text{Gal}(\overline\mathbb{Q}_ p/\mathbb{Q}_ p)\); (iii) \(j_{M,N}(H)=\prod_{\chi\in\widehat{G/H}}g(\chi)\), pour tout sous- groupe \(H\) de \(G\). En sorte que deux modules factoriellement équivalents sont en particulier \(\mathbb{Z}_ p[G]\)-isogènes mais pas nécessairement \(\mathbb{Z}_ p[G]\)-isomorphes.
Une preuve plus détaillée du résultat principal sur les \(S\)- unités, basée sur la notion plus fine d’équivalence factorielle canonique, fait l’objet d’un autre travail [J. Reine Angew. Math. 424, 181-217 (1992; Zbl 0734.11066)].
MSC:
11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
11R23 Iwasawa theory
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