Conformally flat metrics of constant positive scalar curvature on subdomains of the sphere. (English) Zbl 0759.53029

Mazzeo, Rafe; Smale, Nathan

J. Differ. Geom. 34, No. 3, 581-621 (1991).

Cet article est une contribution au problème de la construction sur \(S^ n\setminus\Lambda\), lorsque \(\Lambda\) est une partie de \(S^ n\), de métriques conformes à la métrique standard de \(S^ n\), complètes et à courbure scalaire constante et positive. Les AA. montrent que, \(\tau\) étant un diffeomorphisme de \(S^ n\) proche de l’identité, il existe une famille infinie de métriques répondant au problème sur \(S^ n-\tau(S^ k)\) lorsque \(S^ k\) \((k<{n-2\over 2})\) est une sphère équatoriale de \(S^ n\). Une version “locale” de ce théorème est aussi exposée. Ces résultats sont montrés en utilisant le théorème des fonctions implicites après avoir explicité une solution sur \(S^ n\setminus S^ k\). Les espaces fonctionnels considérés sont des espaces Höldériens ou de Sobolev à poids; ce qui permet d’obtenir des métriques complètes. Les conditions d’utilisation du théorème des fonctions implicites imposent l’étude de certains opérateurs linéaires elliptiques dégénérés. L’étude en est faite dans un cadre plus général.

Reviewer: T.Aubin (Paris)

MSC:

53C20	Global Riemannian geometry, including pinching
58C15	Implicit function theorems; global Newton methods on manifolds

Keywords:

conformal class; implicit function theorem