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Linear- implicit Runge-Kutta methods and their applications. (Linear-implizite Runge-Kutta-Methoden und ihre Anwendung.) (German) Zbl 0759.65047
Teubner-Texte zur Mathematik. 127. Leipzig: Teubner. 356 S. (1992).
Die numerische Lösung von steifen Differentialgleichungen hat in den letzten fünfzehn Jahren große Aufmerksamkeit gefunden. Ein Großteil der neuen Entwicklungen von Verfahren und mathematischen Konzepten zur Erfassung ihrer Eigenschaften bezieht sich auf Einschrittverfahren, denen auch das vorliegende Buch gewidmet ist. Die Verfasser haben seit Jahren über das Thema des Buches selber forschend gearbeitet, entsprechend gut strukturiert und auf dem aktuellen Stand befindlich wird das Material präsentiert. In der Stoffauswahl ist eine ausgewogene Mischung zwischen praktisch orientierten und theoretischen Gesichtspunkten gelungen, die sich nicht in den allerfeinsten Verästelungen der Theorie verliert, sondern stets auch den eigentlichen Zweck der Methoden, ihre konkrete numerische Verwendung, mit im Auge behält. Dies kommt in besonderer Weise auch durch die letzten drei (95 Seiten) der acht Kapitel des Buches (356 Seiten insgesamt) zum Ausdruck, die der Lösung von Algebro-Differentialgleichungen vom Index 1, der mit der Linienmethode bei parabolischen Gleichungen entstehenden Systeme und retardierter Differentialgleichungen gewidmet sind. Ebenfalls das 3. Kapitel (19 Seiten) behandelt typische Anwendungen, bei denen steife Systeme auftreten, wie chemische Reaktionskinetik, Diffusions-Reaktions- Modelle, elektrische nichtlineare Oszillatoren und Netzwerke.
In einem einleitenden 1. Kapitel (19 Seiten) werden die Grundlagen aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen bereitgestellt, insbesondere im Hinblick auf steife Systeme, wie etwa einseitige Lipschitzbedingung und dissipative Systeme, logarithmische Norm der Koeffizientenmatrix mit Anwendung auf Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen. Im 2. Kapitel (71 Seiten) werden die expliziten und impliziten Runge-Kutta Methoden abgehandelt, dabei Methoden zur Schrittweitensteuerung (insb. eingebettete Methoden) diskutiert und die verschiedenen Stabilitätsbegriffe, \(A\)-, \(AN\)-, \(B\)-, \(BN\)-, algebraisch-stabil, eingeführt.
Die beiden zentralen Kapitel sind das vierte (69 Seiten) über linear- implizite Runge-Kutta Methoden und das fünfte (48 Seiten) über partitionierte linear-implizite Runge-Kutta-Methoden. Neben einem detaillierten Studium der Methoden (u.a. Rosenbrock-Typ Methoden, \(B\)- Konsistenz und \(B\)-Konvergenz, \(D\)-Stabilität) diskutieren die Verfasser auch Implementierungsfragen sowie existierende Software im Vergleich zueinander. Sehr erfreulich ist auch das Eingehen auf Möglichkeiten von automatischen Tests auf vorliegende Steifheit sowie auf partitionierte Verfahren, die bei der Integration großer Systeme beträchtliche Vorteile bringen können.
Das vorliegende Buch dürfte für Theoretiker und Praktiker eine unentbehrliche Lektüre sein und sollte in keiner einschlägigen Bibliothek fehlen.

MSC:
65L06 Multistep, Runge-Kutta and extrapolation methods for ordinary differential equations
65L20 Stability and convergence of numerical methods for ordinary differential equations
65-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to numerical analysis
65J99 Numerical analysis in abstract spaces
34E13 Multiple scale methods for ordinary differential equations
34A34 Nonlinear ordinary differential equations and systems
34K05 General theory of functional-differential equations
34-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to ordinary differential equations
65L05 Numerical methods for initial value problems involving ordinary differential equations
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