Constructions of some finite modular incidence structures. (Konstruktionen einiger endlicher modularer Inzidenzstrukturen.) (German) Zbl 0764.51011

Eine Inzidenzstruktur \((\underline P,{\mathfrak L})\) wird hier modular genannt, wenn gilt: (A1) \(\forall p,q\in\underline P\), \(p\neq q\exists L\in{\mathfrak L}\): \(p,q\in L\), (A2) \(\forall A,B\in{\mathfrak L}:A\cap B\neq\emptyset\),
(A3) Für \(a,b,x\in\underline P\), \(a\neq x\) und \(\forall C\in{\mathfrak L}(a,b):=\{X\in{\mathfrak L}| a,b\in X\}\) gelte \(x\in C\). Dann gilt \(\forall D\in{\mathfrak L}(a,x):b\in D\). (A4) Für \(A,B,X\in{\mathfrak L}\), \(A\neq X\) gelte \(A\cap B\subset X\). Dann gilt \(A\cap X\subset B\).
Der Autor gibt zunächst Beispiele endlicher modularer Inzidenzstrukturen an und betrachtet dann solche, die eigentlich sind, d.h. es gelten: \(\forall A,B\in{\mathfrak L}:| A\cap B|\geq 2\), \(\forall a,b\in\underline P:|{\mathfrak L}(a,b)|\geq 2\) und \(\exists a,b\in\underline P\), \(M,N\in{\mathfrak L}\) mit \({\mathfrak L}(a)\not\subset{\mathfrak L}(b)\) und \(M\not\subset N\). Dann inzidiert jede Gerade \(L\in{\mathfrak L}\) mit mindestens drei Punkten und jeder Punkt \(p\in\underline P\) mit mindestens drei Geraden. Für \(n=3\) und \(n=4\) werden alle eigentlichen modularen Inzidenzstrukturen bestimmt, die einen Punkt \(p\in\underline P\) enthalten, der mit genau \(n\) Geraden inzidiert.


51E25 Other finite nonlinear geometries
51B99 Nonlinear incidence geometry
51G05 Ordered geometries (ordered incidence structures, etc.)
Full Text: EuDML


[1] Machala F.: Modulare Inzidenzstrukturen. Čas. pro pěst. mat. · Zbl 0853.08001
[2] Rachůnek J., Larmerová J.: Translation of distributive and modular ordered sets. Acta Univ. Pal. Ol., Vol. 91 (1988), 13-25. · Zbl 0693.06003
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