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Some properties of the Riesz charge associated with a \(\delta\)- subharmonic function. (English) Zbl 0766.31010
\(u\) et \(v\) étant des fonctions surharmoniques sur un ouvert \(\Omega\) de \(\mathbb{R}^ n\), soit \(\mu\) la différence des mesures de Riesz (positives) associées à \(u\) et \(v\). Si \(w=u-v\geq 0\), \(\mu\) a une restriction \(\leq 0\) à l’ensemble \[ E=\{x\in\Omega:\;\liminf_{x\neq y\to x} \text{ fine } w(y)=0\}; \] pour \(w\) quelconque, même résultat en remplaçant, dans la définition de \(E\), \(\Omega\) par l’ensemble des points de \(\Omega\) où \(\{x\in\Omega\): \(w(x)<0\}\) est effilé. D’autre part, \(\mu\) ne charge: ni les ensembles polaires \(e\) tels que \(\liminf_{x\neq y\to x} \text{ fine }| w(y)|<\infty\) \(\forall x\in e\); ni les parties de \(F=\{x\in\Omega\): \(\liminf_{x\neq y\to x} \text{ fine } | w(y)|=0\}\) qui sont négligeables pour la mesure harmonique de \(\Omega\setminus F\).
On recherche enfin les axiomes à imposer à un espace harmonique pour que les résultats ci-dessus y subsistent.

MSC:
31C40 Fine potential theory; fine properties of sets and functions
31B05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions in higher dimensions
31D05 Axiomatic potential theory
31B15 Potentials and capacities, extremal length and related notions in higher dimensions
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References:
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