Jacobi and the birth of Lie’s theory of groups. (English) Zbl 0767.01019

Hawkins, Thomas

Arch. Hist. Exact Sci. 42, No. 3, 187-278 (1991).

In 1868, at age 26 Sophus Lie decided to become a mathematician; in 1873 he decided to devote himself to the task of creating a theory of continuous transformation groups. Lie’s mathematical activity during 1869-1873 was acknowledged by Lie himself as well as later historians as relevant to the theory which emerged after 1873. An earlier paper by the author [in J. McCleary and D. E. Rowe, The history of modern mathematics, Vol. 1, 275-327 (1989; Zbl 0687.01007)] dealt mostly with the period 1869-1871 and Lie’s relationship to Felix Klein whom he met in Berlin in 1869. This “geometric” period is summarized as background in the beginning of this article. The remainder of it is mainly devoted to the influence of Jacobi’s work on Lie during the years 1871-1873. Jacobi’s identity for the Poisson bracket is, of course, the fundamental identity for Lie groups, but Jacobi’s influence went far deeper. As the author shows “virtually all the discoveries of Lie” during this period are related to Jacobi’s work on first order partial differential equations (published posthumously by Clebsch in 1862).
This paper is written in the thorough, detailed and clear way which has come to be expected of the author. It lays out the mathematical context of the development as well as its content. It closes with Lie ready to embark on the theory which was to occupy him the rest of his life.
At the end of the paper a useful glossary is appended of terms used by Lie and his contemporaries or in reference to their ideas which may be unfamiliar to the causal mathematical reader.

Reviewer: S.L.Segal (Rochester)

MSC:

01A55	History of mathematics in the 19th century
35-03	History of partial differential equations

Keywords:

Lie; Jacobi; partial differential equations; Lie groups; continuous transformation groups

Citations:

Zbl 0687.01007

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[93]	Mayer, A., 1872a. ?Die Lie’sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,? Göttingen Nachrichten 1872, (1872), 467-472. [9 October 1872.]
[94]	Mayer, A., 1872b. ?Ueber unbeschränkt integrable Systeme von linearen totalen Differentialgleichungen und die simultane Integration linearer partieller Differentialgleichungen,? Math. Ann. 5 (1872), 448-470. [Leipzig, February 1872.] · JFM 04.0150.01 · doi:10.1007/BF01442806
[95]	Mayer, A., 1873. ?Die Lie’sche Integrationsmethode der partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung,? Math. Ann. 6, 162-196. [October 1872.] · doi:10.1007/BF01443191
[96]	Monge, G., 1850. Application de l’analyse a la géométrie. Cinquième édition, revue, corrigée et annotée par M. Liouville, Paris, Bachelier, 1850.
[97]	Olver, P. J., 1986. Applications of Lie Groups to Differential Equations, New York, Springer-Verlag, 1986. · Zbl 0588.22001
[98]	Pfaff, J. F., 1815. ?Methodus generalis aequationes differentiarum partialium, nec non aequationes differentiales vulgares, utrasque primi ordinis, inter quotcunque variabiles, complete integrandi,? Abhandlungen d. Akad. der Wiss. zu Berlin 1814-15, (1818), 76-136. [15 May 1815.] Translated into German and annotated by G. Kowalewski as Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften, Nr. 128 (Leipzig, 1902).
[99]	Poisson, S., 1809. ?Mémoire sur la variation des constantes arbitraires dans les questions de mécanique,? Journal de l’Ecole Polytechnique, Cahier 15 (1809), 266-344.
[100]	Rowe, D., 1989. ?The Early Geometrical Works of Felix Klein and Sophus Lie,? The History of Modern Mathematics, Vol. 1, J. McCleary & D. Rowe, ed., New York, Academic Press, 1989, pp. 200-273.
[101]	Scholz, E., 1980. Geschichte des Mannigfaltigkeitsbegriffes von Riemann bis Poincaré, Boston, Birkhäuser, 1980. · Zbl 0438.01004
[102]	Serret, J., 1866. Cours d’Algèbre Supérieure, 3rd edn., Paris, 1866.
[103]	Singer, I., & S. Sternberg, 1965. ?The Infinite Groups of Lie and Cartan, Part I (The Transitive Groups),? Journal d’analyse mathématique 15 (1965), 1-114. · Zbl 0277.58008 · doi:10.1007/BF02787690
[104]	Tobies, R., & D. Rowe, 1990. Korrespondenz Felix Klein-Adolph Mayer. Auswahl aus den Jahren 1871-1907 Herausgegeben, eingeleitet und kommentiert von R. Tobies und D. Rowe, Leipzig (B. G. Teubner). · Zbl 0722.01010
[105]	Weiler, J. A., 1859. ?Integration der partiellen Differentialgleichungen erster und zweiten Ordnung,? Archiv der Mathematik und Physik 33 (1859), 171-329.
[106]	Weiler, J. A., 1863. ?Integration der partiellen Differentialgleichungen 1. O. mit n+1 Veränderlichen,? Ztschr. für Math. u. Physik 8 (1963), 264-292.
[107]	Weinstein, A., 1983. ?Sophus Lie and symplectic geometry,? Expositiones Mathematicae, 1 (1983), 95-96. · Zbl 0501.53026