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Arithmetical properties of a certain power series. (English) Zbl 0770.11039
Seien \(\theta>0\) und \(\varphi\) reelle Zahlen, \(\theta\) irrational. Eines der Hauptmotive für die vorliegende Arbeit ist das Studium der Folge \(\{[(k+1) \theta+\varphi]-[k\theta+\varphi]\}_{k=1,2,\dots}\) im Zusammenhang mit einem Billardproblem im Einheitsquadrat. Die erzeugende Potenzreihe dieser Folge, nämlich \[ [\theta+\varphi]x+\sum_{k\geq 1}([(k+1)\theta+\varphi]-[k\theta+\varphi])x^{k+1}, \] ist in \(| x|<1\) gleich \((1-x)\sum_{k\geq 1}[k\theta+\varphi]x^ k\) und hier ist die zuletzt auftretende Potenzreihe gleich dem Wert von \(f(\theta,\varphi;x,y):=\sum_{k\geq 1}\sum_{1\leq m\leq k\theta+\varphi}x^ ky^ m\) für \(y=1\). Diese Funktion \(f(\theta,\varphi;x,y)\) kann man als “Störung” der Mahler Funktion \(f(\theta,0;x,y)\) betrachten, wobei letztere in der Literatur verschiedentlich z.B. hinsichtlich Transzendenz und algebraischer Unabhängigkeit untersucht wurde.
Verff. zeigen zuerst, daß \(f(\theta,\varphi;x,y)\) gewissen Funktionalgleichungen genügen. Diese Tatsache und eine geeignete Entwicklung von \(\varphi\), die mit dem regulären Kettenbruch von \(\theta\) zusammenhängt, ermöglicht es ihnen, die Funktion sowohl als Reihe wie als Kettenbruch darzustellen, deren Elemente gewisse rationale Funktionen von \(x\) und \(y\) sind. Mit diesen Darstellungen laufen dann die Untersuchungen mehr oder weniger wie im Mahlerschen Fall \(\varphi=0\) ab: Die o.a. Folge läßt sich durch eine Kette von Substitutionen beschreiben; ist insbesondere \(\theta\) quadratisch und \(\varphi\in\mathbb{Q}(\theta)\), so kann sie sogar als Fixpunkt einer Substitution gedeutet werden.
Verff. geben des weiteren Irrationalitätsmaße für \(f(\theta,\varphi;1/a,1/b)\) an, wenn \(a,b\) ganzrational sind mit \(| a|\geq 2\), \(b\neq 0\). Ist die Folge der Elemente des Kettenbruchs von \(\theta\) unbeschränkt, so beweisen sie schließlich die algebraische Unabhängigkeit von \(f(\theta,\varphi;\alpha_ i,\beta_ i)\), \(i=1,\dots,n\), für gewisse algebraische \(\alpha_ i\), \(\beta_ i\) unter Verwendung des Satzes von J.-H. Evertse [Compos. Math. 53, 225-244 (1984; Zbl 0547.10008)] über \(S\)-Einheiten-Gleichungen.

MSC:
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J91 Transcendence theory of other special functions
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