Regularity for the singular Yamabe problem. (English) Zbl 0770.53032

Mazzeo, Rafe

Indiana Univ. Math. J. 40, No. 4, 1277-1299 (1991).

Soit \((\tilde X,g_ 0)\) une variété riemannienne compacte de dimension \(n\geq 3\) et \(\Lambda\) une sous-variété de dimension \(k\). Que peut-on dire de l’existence et des propriétés de métriques \(g\) sur \(X=\tilde X\backslash\Lambda\), conformes à \(g_ 0\) complêtes et à courbure scalaire constante? Le problème se ramène à l’étude des fonctions \(u>0\) sur \(X\) qui vèrifient \(\Delta_ 0u-{n-2\over 4(n- 1)}R_ 0u+{n-2\over 4(n-1)}Ru^{(n+2)/(n-2)}=0\), \(g=u^{4/(n-2)}g_ 0\) complète, \(R=cte\). L’auteur obtient un théorème de “régularité” qui précise le comportement au voisinage de \(\Lambda\) des solutions \(u\) du problème précédent. Si une solution \(u\) admet au voisinage de \(\Lambda\) une décomposition de la forme \(u(y)=Cx^{1-n/2}+0(x^ d)\) avec \(x=d(y,\Lambda)\) et \(\alpha>1-n/2\), et vérifie de plus une hypothèse technique, alors \(u\) est “polyhomogène conormale à \(\Lambda\)”, ce qui signifie, sans être précis, qu’elle admet un developpement asymptotique en puissances croissantes de \(x\) au voisinage de \(\Lambda\) avec des coefficients réguliers dans les directions tangentielles. Lorsque \(k>{n-2\over 2}\), des havaux de C. Loewner et L. Nirenberg montrent que les hypothesis de ce théorème sont verifiées. Lorsque \(R=0\), une solution \(u\) existe si et seulement si \(k\leq{n-2\over 2}\) et la constante de Yamabe de \((\tilde x,g_ 0)\) est positive. L’ensemble des solutions est alors paramétré par l’espace des mesures strictement positives sur \(\Lambda\). Ensuite l’auteur s’intéresse à l’existence de solutions \(u\) “périodiques”, lorsque \(\tilde X=S^ n\) et \(\Lambda\) est une sphère équatoriale \(S^ k\). \(S^ n\backslash S^ k\) est alors conformement équivalente à \(S^{n-k-1}\times H^{k+1}\) où \(H^{k+1}\) est l’espace hyperbolique. L’auteur prouve l’éxistence de solutions \(u\) invariantes par des groupes de transformation \(\Gamma\) de \(H^{k+1}\) opérant sans point fixe et tels que \(H^{k+1}/\Gamma\) soit compact.

Reviewer: T.Aubin (Paris)

MSC:

53C20

Global Riemannian geometry, including pinching

Keywords:

constant scalar curvature; conformal class; Yamabe constant; hyperbolic space; asymptotic expansion