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Old and new invariant metrics on complex manifolds. (English) Zbl 0773.32017
Several complex variables, Proc. Mittag-Leffler Inst., Stockholm/Swed. 1987-88, Math. Notes 38, 640-682 (1993).
[For the entire collection see Zbl 0759.00008.]
Bei den vom Autor betrachteten alten invarianten Metriken handelt es sich um die differentiellen Metriken von Carathéodory, Kobayashi und Bergman sowie um die Kähler-Einstein Metrik. Nach ihrer Definition und der Darstellung ihrer grundlegenden Eigenschaften geht er auf Größenbeziehungen zwischen den Metriken ein. Anschließend berichtet er über ihr Randverhalten. In einem Abschnitt über Anwendungen referiert der Autor zunächst über die Fortsetzungssätze, die man in Verallgemeinerung des großen Picardschen Satzes mit Hilfe der Kobayashi Metrik ableiten kann. Man vermißt hier einen Hinweis auf die Arbeit von Huber aus dem Jahre 1953, die meines Erachtens den Beginn dieser Theorie darstellt. Als weiteres Anwendungsbeispiel der Kobayashi Metrik behandelte der Autor ein Theorem von Royden aus der Teichmüller Theorie. Anschließend behandelt er Folgerungen, die sich aus den Veränderungen der Bergmanschen Kernfunktion bei kleinen \(C^ \infty\)-Störungen streng pseudokonvexer Gebiete im \(\mathbb{C}^ \infty\) ergeben und bespricht dann die Bedeutung der Kähler-Einstein Metrik für die Theorie der Chern Klassen. Die Besprechung der alten Metriken endet mit einer Bewertung.
Die Vorteile der Carathéodory und der Kobayashi Metrik liegen darin, daß sie für alle Mannigfaltigkeiten definierbar sind und, daß sie sich verkürzend unter holomorphen Abbildungen verhalten; ihre Nachteile liegen in ihren schlechten differentialgeometrischen Eigenschaften. Der Autor spricht in diesem Zusammenhang von “Regularität”. Er stellt fest, daß diese Metriken effektiv beim Studium holomorpher Abbildungen sind, aber nicht geeignet für “geometrisch topologische” Betrachtungen. Bei der Bergmanschen Metrik und der Kähler-Einstein Metrik is es genau umgekehrt. Man vermißt bei dieser Bewertung einen Hinweis auf die Möglichkeiten einer Finslerschen Differentialgeometrie für die Carathéodory bzw. Kobayashi Metrik.
In der zweiten Hälfte der Arbeit kommt der Autor zu seinem eigentlichen Anliegen, nämlich dem Werben für neue Invariantenmetriken, welche alle Vorteile der alten in sich vereinen. Im 7. Abschnitt der Arbeit belegt er sein Anliegen in sehr überzeugender Weise. Sei \(M\) eine komplexe Mannigfaltigkeit. Für \(M\) sind folgende Eigenschaften von Interesse:
(i) \(M\) besitzt eine (vollst.) Hermitesche Metrik mit streng negativer holomorpher Krümmung.
(ii) \(M\) ist (vollständig) hyperbolisch.
(iii) \(M\) besitzt eine (vollständige) Hermitesche Metrik mit streng negativer Ricci Krümmung.
(iv) \(M\) ist Maß-hyperbolisch.
Die Beziehungen zwischen den Eigenschaften sind nur zum Teil bekannt. Es gilt z. B. (i) \(\Rightarrow\) (ii), aber gilt auch (ii) \(\Rightarrow\) (i)? Der Autor legt dar, daß hier problemangepaßte invariante Metriken hilfreich sein könnten. Als Beleg dafür beweist er folgendes Theorem: Jede kompakte Carathéodory-hyperbolische komplexe Mannigfaltigkeit besitzt eine \(C^ \infty\)-Hermitesche Metrik mit negativer Ricci Krümmung und ist deshalb algebraisch. –
Der Autor beschreibt Verfahren zur Konstruktion invarianter pseudo- Hermitescher Metriken auf allen komplexen Mannigfaltigkeiten. Ein Konstruktionsverfahren führt er in einer etwas ausführlicheren Skizze durch. Zum Schluß berührt er das Thema der invarianten Metriken höherer Ordnung, der Jetmetriken.
Bei der Arbeit handelt es sich um einen sehr anregenden Übersichtsartikel.

MSC:
32F45 Invariant metrics and pseudodistances in several complex variables
32Q45 Hyperbolic and Kobayashi hyperbolic manifolds
53C99 Global differential geometry
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