Spectral approximation for elliptic boundary value problems. (Approximations spectrales de problèmes aux limites elliptiques.) (French) Zbl 0773.47032

Bernardi, Christine; Maday, Yvon

Mathématiques & Applications (Berlin). 10. Paris: Springer-Verlag. iv, 242 p. (1992).

Les problèmes considérés dans ce livre sont des équations aux dérivées partielles de type elliptique, posées dans un carré et munies de conditions aux limites soit de type Dirichlet soit de type Neumann. Il s’agit d’équations associées au Laplacien, à l’opérateur de Stokes et au bilaplacien. L’analyse numérique de la discrétisation est présentée de manière détaillée, en particulier des estimations d’erreur optimale ou presqu’optimales sont démontrées dans tous les cas considérés.
Le plan de ce livre est le suivant. Dans le premier chapitre, les auteurs rappellent les résultats de base qui seront utilisés par la suite: espaces de Sobolev, polynômes orthogonaux, formule de quadrature de Gauss. Le deuxième chapitre est consacré à l’étude de l’approximation polynômiale. En particulier l’analyse numérique de la méthode de Galerkin est réalisée pour des problèmes modèles. Le chapitre 3 traite de l’approximation polynômiale avec comme application l’analyse numérique de la méthode avec intégration numérique.
L’approximation spectrale des équations de Stokes et du bilaplacien est analysée dans les deux derniers chapitres.
Il s’agit d’un ouvrage qui a une vocation pédagogique et qui comporte des exercises.

Reviewer: B.Helffer (Paris)

MSC:

47F05	General theory of partial differential operators
65M60	Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for initial value and initial-boundary value problems involving PDEs
46E35	Sobolev spaces and other spaces of “smooth” functions, embedding theorems, trace theorems
41A10	Approximation by polynomials
35J25	Boundary value problems for second-order elliptic equations
47A10	Spectrum, resolvent
65J10	Numerical solutions to equations with linear operators

Keywords:

spectral approximations; elliptic boundary value problems; elliptic partial differential equations; Dirichlet and Neumann boundary conditions; Laplacian; bilaplacian; Stokes operator; discretization; Sobolev spaces; orthogonal polynomials; Gaussian quadrature formula; polynomial approximation; Galerkin method