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Germs of holomorphic vector fields in \(\mathbb{C}^ 3\) without a separatrix. (English) Zbl 0774.32019

Im Jahre 1982 zeigten Camacho und Sad, daß jeder Keim eines holomorphen Vektorfeldes im Punkte \(O\in\mathbb{C}^ 2\) eine Separatrix, d.h. eine komplex-analytische Integralkurve, besitzt. Die Autoren zeigen, daß eine entsprechende Aussage für \(\mathbb{C}^ 3\) falsch ist. Bezeichne \(\Theta\) die Garbe der holomorphen Vektorfelder auf \(\mathbb{C}^ 3\). Die Autoren konstruieren eine 7-codimensionale algebraische Untervarietät \(W\) von \({m^ 2_ 0\Theta_ 0\over m^ 4_ 0\Theta_ 0}\) derart, daß jedes Vektorfeld der Multiplizität 2 mit 3-Jet in \(W\) keine Separatrix besitzt. Zum Beweis werden Aufblasetechniken benutzt, die von Cano entwickelt wurden.

MSC:

32S65 Singularities of holomorphic vector fields and foliations
32S05 Local complex singularities
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References:

[1] Camacho, C., Sad, P.: Invariant varieties through singularities of holomorphic vector fields. Ann. Math.115, 579-595 (1982) · Zbl 0503.32007
[2] Cano, F.: Final forms for a three dimensional vector field under blowing-up. Ann. Inst. Fourier37, 151-193 (1987) · Zbl 0607.58027
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[5] Hartshorne, R.: Algebraic Geometry. Berlin Heidelberg New York: Springer 1974 · Zbl 0288.14006
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