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Bourbaki’s fixpoint lemma reconsidered. (English) Zbl 0779.06004
Es sei \(L\) ein vollständiger Verband, und \(k_ 0: L\to L\) sei eine ordnungstreue Abbildung mit \(x\leq k_ 0(x)\) für alle \(x\in L\) (Prä- Hüllenoperator). Die Menge der Fixpunkte von \(k_ 0\) ist dann ein (gegenüber beliebiger Durchschnittsbildung abgeschlossenes) Hüllensystem mit zugehörigem Hüllenoperator \(k\). Verf. beweist: Für festes \(a\in L\) ist \(W=\{x\in L|\) \(a\leq x\leq k(a)\}\) in \(\{x\in L|\) \(x\geq a\}\) die kleinste nach unten aufgefüllte Menge mit \(a\in W\) und mit \(\bigvee D\in W\) für jede nach oben gerichtete Menge \(D\subset W\), die überdies \(k_ 0\)-stabil ist. Als Konsequenz ergibt sich: Jedes \(k_ 0\)-stabile Hüllensystem in \(L\), das gegenüber Vereinigungsbildung nach oben gerichteter Teilmengen abgeschlossen ist, ist auch \(k\)-stabil. Die Ergebnisse werden auf Frame- Coprodukte angewandt.

MSC:
06A15 Galois correspondences, closure operators (in relation to ordered sets)
06B23 Complete lattices, completions
54B99 Basic constructions in general topology
06B30 Topological lattices
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Full Text: EuDML