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\(L\)-functions of \(2 \times 2\) unitary groups and factorization of periods of Hilbert modular forms. (English) Zbl 0779.11023
Ziel des Verf. ist es, in einem recht allgemeinen Rahmen zu zeigen, daß der Quotient (1) \(\langle f,f\rangle \bigl/ \prod^ d_{j=1} \langle f^ j, f^ j\rangle\) der Petersson-Norm \(\langle f,f\rangle\) einer globalen Spitzenform \(f\) und des Produktes der Petersson-Normen \(\langle f^ j,f^ j\rangle\) zugehöriger “lokaler” automorpher Formen eine algebraische Zahl ist. Zum einen kann \(f\) eine arithmetische Spitzenform (d.h. mit algebraischen Fourierkoeffizienten) zur Hilbertschen Modulgruppe eines total-reellen algebraischen Zahlkörpers \(E\) vom Grad \(d\) sein, die zu einer irreduziblen automorphen Darstellung \(\pi\) der Adele von \(GL(2,E)\) gehört. Existiert dann für \(1\leq j\leq d\) jeweils eine Quaternionenalgebra \(D(j)/E\), die an der archimedischen Primstelle der Nummer \(j\) von \(E\) zerfällt und an den anderen archimedischen Primstellen verzweigt ist, und kann das System der Hecke- Eigenwerte von \(f\) an fast allen Primstellen im Raum der holomorphen Modulformen auf der zu \(D(j)\) gehörigen Shimura-Kurve \(M_ j\) realisiert werden mit einer arithmetischen Modulform \(f^ j\) auf \(M_ j\) zu einer Darstellung \(\pi^{D(j)}\) der Adele von \(D(j)^ \times\), so hängen \(\langle f,f\rangle\) und die \(\langle f^ j,f^ j\rangle\) bis auf algebraische Faktoren nur von den Darstellungen ab und der Quotient (1) ist algebraisch.
Allgemeiner sei \(D\) irgendeine Quaternionenalgebra über \(E\), \(\Sigma(D)\) die Menge der reellen Primstellen, an denen \(D\) zerfällt und \(\pi^ D\) eine automorphe Darstellung der Adele von \(D^ \times\), für die die lokalen Komponenten \(\pi^ D_ v\) und \(\pi_ v\) isomorph sind für alle \(v\), an denen \(D\) unverzweigt ist. Es ist bekannt, daß solch ein \(\pi^ D\) genau dann existiert, wenn \(\pi_ v\) für jedes \(v\), an dem \(D\) verzweigt ist, zur diskreten Serie von \(GL(2,E_ v)\) gehört. Unter der lokalen Bedingung, daß \(\pi_{v'}\) für mindestens eine endliche Primstelle \(v'\) zur diskreten Serie von \(GL(2,E_{v'})\) gehört, beweist der Verf. für eine arithmetische Form \(f^ D\) zu \(\pi^ D\) die Shimizu-Vermutung, daß (1) algebraisch ist. Der Beweis benutzt \(\Theta\)-Korrespondenzen und eine Verallgemeinerung der Weil-Siegel-Formel. Wesentlich sind hier Ergebnisse des Verf. aus seiner Arbeit [Forum Math. 5, 405-419 (1993); vgl. nachstehendes Referat]. Für die Shimura-Vermutung und Beweise für Spezialfälle vergleiche man die einschlägigen Arbeiten von G. Shimura [J. Math. Soc. Japan 31, 561-592 (1979; Zbl 0456.10015), Am. J. Math. 105, 253-285 (1983; Zbl 0518.10032), Invent. Math. 94, 245-305 (1988; Zbl 0656.10018)].

MSC:
11F41 Automorphic forms on \(\mbox{GL}(2)\); Hilbert and Hilbert-Siegel modular groups and their modular and automorphic forms; Hilbert modular surfaces
11F67 Special values of automorphic \(L\)-series, periods of automorphic forms, cohomology, modular symbols
11F27 Theta series; Weil representation; theta correspondences
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