Discs in pseudoconvex domains. (English) Zbl 0779.32016

Forstnerič, Franc; Globevnik, Josip

Comment. Math. Helv. 67, No. 1, 129-145 (1992).

Folgendes Problem wird diskutiert: gibt es zu jedem Punkt \(z^ 0\) eines Gebietes \(G\Subset\mathbb{C}^ N\) \((N\geq 2)\) und zu jeder Richtung \(X\in\mathbb{C}^ N\), \(X\neq 0\), eine eigentliche holomorphe Abbildung \(F:\Delta\to G\) mit: \(F(0)=z^ 0\) und \(F'(0)=\lambda X\), \(\lambda>0\); \(\Delta\) bezeichne hier den offenen Einheitskreis der komplexen Ebene.
Für pseudokonvexe Gebiete mit \(C^ 2\)-Rand wird obige Frage positiv gelöst. Ist \(G\) ein streng pseudokonvexes Gebiet mit \(C^ k\)-Rand \((k\geq 2)\), so gibt es sogar eigentliche analytische Scheiben durch \(z^ 0\) in Richtung \(X\), die sich zu einer \(C^{k-0}(\overline\Delta)\)- Abbildung fortsetzen lassen. Verzichtet man allerdings auf die Bedingung “pseudokonvex”, so ist schon der erste Teil obiger Frage zu verneinen. Konkret, es wird ein glattes Gebiet \(G\), \(0\in G\), angegeben, das wie eine Kugel mit Löchern aussieht, so daß das Bild jeder eigentlichen holomorphen Abbildung \(F:\Delta\to G\) den Nullpunkt nicht enthält.

Reviewer: P.Pflug (Vechta)

MSC:

32T99	Pseudoconvex domains
32H35	Proper holomorphic mappings, finiteness theorems

Keywords:

pseudoconvex domains; proper holomorphic mapping