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Analytic and arithmetic theory of semigroups with divisor theory. (English) Zbl 0780.11046
Die Autoren untersuchen arithmetische Halbgruppen: das sind kommutative unitäre kürzbare Halbgruppen \(H\) mit Divisorentheorie \(\partial: H\to D\) (\(D\) frei abelsch), endlicher Klassengruppe \(G=D/\partial H\) und einer Normfunktion \(\|\cdot\|: D\to \mathbb{N}\) mit gewissen Wachstumsbedingungen, welche die Entwicklung einer abstrakten analytischen Zahlentheorie gestattet [J. Knopfmacher, Abstract analytic number theory (North-Holland, 1975; Zbl 0322.10001)]. Sie charakterisieren für jedes \(g\in G\) die Anzahlfunktionen \(\alpha(g,n)=\# \{a\in g|\) \(\| a\|=n\}\) in analytischer Weise und benutzen diese zur Klassifikation arithmetischer Halbgruppen bis auf Isomorphie.
Der zweite Abschnitt ist der kombinatorischen und analytischen Untersuchung von Problemen der nicht-eindeutigen Faktorisierbarkeit in arithmetischen Halbgruppen gewidmet. Die hier erzielten Resultate sind im Falle der Existenz von Ausnahmenullstellen der \(L\)-Funktionen von denen im klassischen Fall algebraischer Zahlkörper wesentlich verschieden [W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, 2nd ed. (Springer, 1990; Zbl 0717.11045), Ch. 9].

MSC:
11N80 Generalized primes and integers
11R27 Units and factorization
20M14 Commutative semigroups
20K01 Finite abelian groups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
References:
[1] Chouinard, L.G., Krull semigroups and divisor class groups, Canad. J. Math.33 (1981), 1459-1468. · Zbl 0453.13005
[2] Clifford, A.H. and Preston, G.B., The algebraic theory of semigroups, Vol. II, Providence, Rhode Island1967. · Zbl 0178.01203
[3] Forman, W. and Shapiro, H.N., Abstract prime number theorems, Comm. Pure Appl. Math.7 (1954), 587-619. · Zbl 0057.28404
[4] Geroldinger, A., Über nicht-eindeutige Zerlegungen in irreduzible Elemente, Math. Z.197 (1988), 505-529. · Zbl 0618.12002
[5] Geroldinger, A., Factorizations of algebraic integers, Number Theory, Ulm1987, 1380, 63-74. · Zbl 0684.12007
[6] Geroldinger, A., Factorization of natural numbers in algebraic number fields, Acta Arith.57 (1991), 365-373. · Zbl 0729.11054
[7] Geroldinger, A. and Halter-Koch, F., Realization theorems of semigroups with divisor theory, Semigroup Forum44 (1992), 229-237. · Zbl 0751.20045
[8] Gilmer, R., Commutative Semigroup Rings, The University of Chicago Press1984. · Zbl 0566.20050
[9] Halter-Koch, F., Halbgruppen mit Divisorentheorie, Expo. Math.8 (1990), 27-66. · Zbl 0698.20054
[10] Halter-Koch, F., Ein Approximationssatz für Halbgruppen mit Divisorentheorie, Resultate der Math.19 (1991), 74-82. · Zbl 0742.20060
[11] Halter-Koch, F., A generalization of Davenport’s constant and its arithmetical applications, Coll. Math.63 (1992), 203-210. · Zbl 0760.11031
[12] Halter-Koch, F. and Müller, W., Quantitative aspects of non-unique factorization: a general theory with applications to algebraic function fields, J. Reine Angew. Math421 (1991), 159-188. · Zbl 0736.11064
[13] Kaczorowski, J., Some remarks on factorization in algebraic number fields, Acta Arith.43 (1983), 53-68. · Zbl 0526.12006
[14] Krause, U., On monoids of finite real character, Proc. AMS105 (1989), 546-554. · Zbl 0692.20058
[15] Lang, S., Algebraic Number Theory, Springer1986. · Zbl 0601.12001
[16] Lettl, G., Durch Normen definierte Idealklassengruppen, Studia Sci. Math. Hungarica23 (1988), 327-334. · Zbl 0677.12002
[17] Mazur, M., A note on the growth of Davenport’s constant, Manuscripta Math.74 (1992), 229-235. · Zbl 0759.20009
[18] Narkiewicz, W., Finite abelian groups and factorization problems, Coll. Math.42 (1979), 319-330. · Zbl 0514.12004
[19] Prachar, K., Primzahlverteilung, Springer1978. · Zbl 0394.10001
[20] Skula, L., On c-semigroups, Acta Arith.31 (1976), 247-257. · Zbl 0303.13014
[21] Sliwa, J., Remarks on factorizations in algebraic number fields, Coll. Math.46 (1982), 123-130. · Zbl 0514.12005
[22] Saks, S. and Zygmund, A., Analytic functions, Polish Scientific Publishers1965. · Zbl 0136.37301
[23] Titchmarsh, E.C., The theory of functions, Oxford University Press1964. · JFM 58.0297.01
[24] Titchmarsh, E.C., The theory of the Riemann zeta function, Oxford at the Clarendon Press1986. · Zbl 0601.10026
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