Quantum scattering theory for long and short range perturbations of the magnetic field. (Théorie de la diffusion quantique pour des perturbations à longue et courte portée du champ magnétique.) (French) Zbl 0780.35091

Nicoleau, François; Robert, Didier

Ann. Fac. Sci. Toulouse, V. Sér., Math. 12, No. 2, 185-194 (1991).

Summary: The authors study perturbations of the positive Laplace operator, \(- \Delta\), in \(\mathbb{R}^ n\) of the form: \[ H_{A,V}= \sum(D_ j-A_ j(x))^ 2+V(x). \] In case when \(V\) is short range, \(A(x)=\sum A_ j(x)dx_ j\) long range but the two form \(dA\) being short range, they compare the usual Moeller wave operators and the modified wave operators introduced by Isozaki-Kitada. They recover a result of Loss-Thaller on the completeness of the wave operators for the pair \((H_{A,V},- \Delta)\).

MSC:

35Q40	PDEs in connection with quantum mechanics
35P25	Scattering theory for PDEs
35J10	Schrödinger operator, Schrödinger equation
81U05	\(2\)-body potential quantum scattering theory

Keywords:

perturbations of the positive Laplace operator; Moeller wave operators; modified wave operators

References:

[1]	Beals, R.) .- A general calculus of pseudodifferential operators, Duke Math. J.42 (1975) pp. 1-42. · Zbl 0343.35078
[2]	Dollard, J.D.) .- Quantum mechanical scattering theory for short range and Coulomb interactions, Rocky Mountain J.1 (1971) pp. 5-88. · Zbl 0226.35074
[3]	Enss, V.) . - Long-range scattering of two-and three body quantum systems, Actes des Journées Équations aux Dérivées Partielles, Saint-Jean de Monts (1989) pp. 1-31 · Zbl 0734.35069
[4]	Gérard, C.) et Martinez, A.) .- Prolongement méromorphe de la matrice de scattering pour des problèmes à 2 corps à longue portée, Ann. Inst. Henri Poincaré, 51, n° 1 (1989) pp. 81-110. · Zbl 0711.35097
[5]	Hörmander, L.) . - The analysis of linear partial differential operators, Tomes 1 à 4, Springer-Verlag. · Zbl 0601.35001
[6]	Isozaki, H.) and Kitada, H.) . - Modified wave operators with time-independent modifiers, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sect. IA, 32 (1985) pp. 77-104. · Zbl 0582.35036
[7]	Loss, M.) and Thaller, B.) .- Scattering of particles by long-range magnetic fields, Annals of physics, 176 (1987) pp. 159-180. · Zbl 0646.35074
[8]	Nicoleau, F.) .- Théorie de la diffusion pour l’opérateur de Schrödinger en présence d’un champ magnétique, Thèse de doctorat de l’Université de Rennes I (1991).
[9]	Perry, P.A.) .- Scattering theory by the Enss method, Mathematical Reports Series, vol. 1, part 1, Hardwood Acad. Publishers (1983). · Zbl 0529.35004
[10]	Reed, M.) and Simon, B.) .- Methods of Modern Mathematical Physics Tomes 1 à 4, Academic Press (1972). · Zbl 0401.47001
[11]	Robert, D.) . - Asymptotique de le phase de diffusion à haute énergie pour des perturbations du second ordre du Laplacien, À paraître au Annales de l’E.N.S. · Zbl 0801.35100
[12]	Robert, D.) . - On Scattering theory for long range perturbations of Laplace operators, Conférence en l’honneur de S. Agmon, juin 1990; à paraître dans le Journal d’Analyse Mathématique. · Zbl 0813.35072