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Connections and martingales in Lie groups. (Appendix: Decomposition into the product of two Brownians of a martingale with values in a group provided with a bi-invariant metric, by M. Arnaudon and P. Mathieu). (Connexions et martingales dans les groupes de Lie. (Appendice: Décomposition en produit de deux browniens d’une martingale à valeurs dans un groupe muni d’une métrique bi-invariante de M. Arnaudon et P. Mathieu).) (French) Zbl 0780.58047

Séminaire de probabilités XXVI, Lect. Notes Math. 1526, 146-156 (1992).
[For the entire collection see Zbl 0754.00008.]
Dans la première partie, nous faisons quelques rappels sur les martingales dans les variétés munies de connexions qui peuvent avoir une torsion non nulle, puis nous étudions le cas des groupes de Lie. Lorsque ceux-ci sont munis de leur connexion gauche, M. Hakim-Dowek et D. Lépingle ont montré que les martingales du groupe issues de l’élément neutre sont exactement les exponentielles stochastiques des martingales locales de l’algèbre de Lie [Lect. Notes Math. 1204, 352-374 (1986; Zbl 0609.60009)].
Dans la deuxième partie figurent les décompositions des semi- martingales en produits de martingales et processus à variation finie obtenues par Hakim-Dowek et Lépingle, et nous y ajoutons des relations entre exponentielle stochastique droite et exponentielle stochastique gauche, et des relations entre une semi-martingale et son inverse.
On détermine ensuite les équations du développement des semi- martingales relativement à une connexion invariante à gauche, et on donne une solution explicite lorsque l’application bilinéaire associée à la connexion est un crochet de Lie sur l’algèbre de Lie du groupe.

MSC:

58J65 Diffusion processes and stochastic analysis on manifolds
60G48 Generalizations of martingales
53C30 Differential geometry of homogeneous manifolds
60B15 Probability measures on groups or semigroups, Fourier transforms, factorization
60D05 Geometric probability and stochastic geometry
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Full Text: Numdam EuDML