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Uniqueness of the solutions of the equation \(x^ d+y^ d=ap\). (Eindeutigkeit der Lösungen der Gleichung \(x^ d + y^ d = ap\).) (German) Zbl 0782.11011
Als zentrales Ergebnis beweist Verf. hier (etwas mehr als) folgenden Satz: Sei \(P\in\mathbb{Z}[X,Y]\) irreduzibel und homogen vom Grad \(d\geq 4\) und sei \(c\in\mathbb{N}\) fest vorgegeben. Dann hat die Gleichung \(P(x,y)=h\) für fast jedes \(h\in\mathbb{Z}\) höchstens \(d^{t-1}\) paarweise inäquivalente, teilerfremde Lösungen \((x,y)\in \mathbb{Z}^ 2\) wobei \(t\) die Anzahl der \(h\) teilenden Primzahlen \(\geq c\) bedeutet. Dabei heißen \((x,y)\), \((u,v)\in\mathbb{Q}^ 2\) äquivalent, wenn es \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\in \mathbb{Q}\) mit \(\alpha\delta\neq \beta\gamma\) gibt derart, daß \(u=\alpha x+\beta y\), \(v=\gamma x+\delta y\) gilt.
Wohl das interessanteste Korollar dieses Satzes ist folgendes: Seien \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\), \(abc\neq 0\), \(d\geq 4\). Wenn die Gleichung \(ax^ d+by^ d= cp\) bei genügend großer Primzahlpotenz \(p\) mindestens eine teilerfremde Lösung \((x,y)\in\mathbb{Z}^ 2\) besitzt, so hat sie genau (i) eine Lösung, falls \(2\nmid d\) und \(a/b\) keine \(d\)-te Potenz ist, (ii) vier Lösungen, falls \(s\mid d\), aber \(a/b\) keine \(d\)-te Potenz ist, (iii) acht Lösungen, falls \(2\mid d\) und \(a=b\) gilt.
Der Beweis des zitierten Satzes hängt entscheidend von einem geeigneten “3-Werte-Satz” ab, bei dessen Beweis sich Verf. auf den \(S\)- Einheitensatz von Evertse, Laurent bzw. van der Poorten-Schlickewei stützt [vgl. etwa J. H. Evertse, Compos. Math. 53, 225-244 (1984; Zbl 0547.10008)].

MSC:
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
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Full Text: Numdam EuDML
References:
[1] Bombieri, E. : Schmidt, W.M. : On Thue’s equation . Invent. Math. 88 (1987), 69-81. · Zbl 0614.10018 · doi:10.1007/BF01405092 · eudml:143445
[2] Evertse, J.H. : Upper Bounds for the Number of Solutions of Diophantine Equations . Math Centrum Amsterdam 1987, pp. 1-127. · Zbl 0517.10016
[3] Evertse, J.H. : On sums of S-units and linear recurrences . Compos. Math. 53 (1984), 225-244. · Zbl 0547.10008 · numdam:CM_1984__53_2_225_0 · eudml:89685
[4] Langmann, K. : Lösungsanzahl der Thue-Gleichung. Eingereicht bei Compos. Math. | · www.numdam.org
[5] Stewart, C.L. : On the number of solutions of polynomial congruences and Thue equations . Erscheint in Journal of the AMS. · Zbl 0744.11016 · doi:10.2307/2939289
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