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Gibbs measures on regular Cantor sets. (Mesures de Gibbs sur les Cantor réguliers.) (French) Zbl 0784.60097

The following quotations of this paper characterize its contents:
“L’object de ce travail est d’établir un théorème d’existence de mesures de Gibbs sur les ensembles de Cantor dont l’arbre est équipé d’une fonction (où d’un vecteur) d’énergie quasi additif. Dans une première partie, ‘Arbre et Cantor’, nous introduisons le formalisme des arbres en le dégagent de l’exemple des Cantors itérés. Dans une seconde partie, nous adaptons aux arbres le formalisme des grandes déviations tel qu’il est présenté par R. S. Ellis [Entropy, large deviations, and statistical mechanics (1985; Zbl 0566.60097)]. D’une construction niveau des mesures de Gibbs finies classiques, nous induisons la définition d’une mesure de Gibbs sur les branches de l’arbre, i.e. sur les points du Cantor. Postulant l’existence, nous donnons deux informations importantes sur ces mesures: caractérisation des ensembles sur lesquels elles sont concentrées et valeur de leur entropie.
Les troisième et quatrième parties traitent de l’existence des mesures de Gibbs dans le cas quasi additif: c’est ici qu’interviennent les fonctions génératrices des œuds de l’arbre. Nous terminons en donnant des conditions très générals, portant sur le comportement des fonctions génératrices, qui assurent l’existence de mesures de Gibbs.”
The main theorem is as follows: “Soient un arbre \(p\)-aire de la pandération \((e^{-(n+1)}\mid n \geq 0)\), d’une mesure \(\mu\) quasi Bernoulli et d’une application \(l: \bigcup_{n \geq 0} \{0,1,\ldots,p- 1\}^ n \to \mathbb{R}^*_ +\) quasi additive.
(i) La suite des \(C_ n=n^{-1} \log \bigl( \sum_{a \in \{0,1,\ldots,p-1\}^ n} la \mu a \bigr)\) admet une limite \(C\).
En outre, il existe une constante \(K \geq 1\) telle que, pur tout \(n \geq 1:\) \(| C-C_ n | \leq(\log K)/n\).
(ii) Il existe un état de Gibbs \(\gamma\) pour ces données, i.e. il existe une constante \(R>0\) telle que, pour tout mot fini \(a \in \{0,1,\ldots,p-1\}^ n\): \(R^{-1} \leq \gamma/e^{-nC_ n}la \mu a \leq R\)”.
Reviewer: D.Szynal (Lublin)

MSC:

60K35 Interacting random processes; statistical mechanics type models; percolation theory
60F10 Large deviations
54F45 Dimension theory in general topology
05C05 Trees

Citations:

Zbl 0566.60097
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Full Text: Numdam EuDML

References:

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