Simultaneous rational approximations and related diophantine equations. (English) Zbl 0786.11040

Rickert, John H.

Math. Proc. Camb. Philos. Soc. 113, No. 3, 461-472 (1993).

Verf. untersucht die effektive simultane Approximation algebraischer Zahlen des Typs \(t_ 1^ \nu,\dots, t_ m^ \nu\) bei rationalen \(t_ 1,\dots,t_ m\), \(\nu\). Liegen \(t_ 1,\dots,t_ m\) bezüglich ihres Hauptnenners genügend nahe bei 1, so wird mit effektiv angebbaren \(c,\lambda\in\mathbb{R}_ +\) eine Ungleichung der Form \[ \max_{1\leq i\leq m} | qt_ i^ \nu- p_ i|> cq^{-\lambda} \] für alle ganzen \(q>0\), \(p_ 1,\dots,p_ m\) gewonnen.
Verf. beweist sodann speziell \(\max(| q\sqrt 2-p_ 1|, | q\sqrt 3-p_ 2|)> 10^{-7} q^{-0,913}\) und leitet daraus ab, daß \((\pm 1,\pm 1,0)\) die einzigen Lösungen des simultanen Gleichungssystems \(x^ 2-2z^ 2=1\), \(y^ 2-3z^ 2=1\) sind.
Die Beweismethode ist derjenigen von A. Baker [Proc. Camb. Philos. Soc. 63, 693-702 (1967; Zbl 0166.055)] verwandt; ähnliche Ergebnisse hatten 1970 N. I. Feldman bzw. C. F. Osgood publiziert.

Reviewer: P.Bundschuh (Köln)

MSC:

11J68	Approximation to algebraic numbers
11J13	Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
11D09	Quadratic and bilinear Diophantine equations

Keywords:

effective simultaneous approximation of algebraic numbers; simultaneous quadratic diophantine equations

Citations:

Zbl 0166.055

References:

[1]	Baker, Transcendental Number Theory (1975)
[2]	Baker, Proc. Cambridge Philos. Soc. 63 pp 693– (1967)
[3]	DOI: 10.1093/qmath/15.1.375 · Zbl 0222.10036
[4]	DOI: 10.1112/plms/s3-14.3.385 · Zbl 0131.29102
[5]	Fel’dman, Math. Notes 7 pp 343– (1970) · Zbl 0212.39402
[6]	DOI: 10.1007/BF02392334 · Zbl 0205.06702
[7]	Roth, Mathematika 2 pp 1– (1955)
[8]	Osgood, Proc. Cambridge Philos. Soc. 67 pp 75– (1970)
[9]	Fel’dman, Math. Notes 8 pp 674– (1970) · Zbl 0211.37603
[10]	Mathematika pp 168–